Der Spiekerpunkt als Schwerpunkt des Dreiecksumfangs mit interessanten Eigenschaften

Der Spiekerpunkt ist aufgrund der unten beschriebenen Eigenschaften sicherlich einer der interessantesten Punkte beim Dreieck. Trotzdem spielt er in den Lehrplänen der Schulmathematik keine Rolle. Glücklicherweise eignet er sich als Übungsaufgabe zur zentrischen Streckung oder den Strahlensätzen. Als "Belohnung" durchschaut man interessante geometrische Zusammenhänge. Die nachfolgende Animation beschreibt die Vorgehensweise.

Eigenschaften des Spiekerpunktes:

  • Sucht man den "Schwerpunkt" des Dreiecksumfangs (auch Schwerpuntk der Dreieckseiten oder Schwerpunkt eines Drahtmodells), stößt man auf den Spiekerpunkt.
  • Der Spiekerpunkt ist der Inkreismittelpunkt des Seitenmittendreiecks.
  • Spiekerpunkt, Schwerpunkt und Inkreismittelpunkt liegen beim Dreieck auf einer Linie. Hierbei teilt der Schwerpunkt die Strecke zwischen Inkreismittelpunkt und Spiekerpunkt im Verhältnis 2:1.
  • Auch der Nagelpunkt liegt mit den obigen drei Punkten auf einer Geraden, wobei der Spiekerpunkt genau zwischen Inkreismittelpunkt und Nagelpunkt liegt. Siehe "Besondere Punkte beim Dreieck"
  • Der Spiekerpunkt ist der Mittelpunkt des Kreises, der alle Ankreise des Dreiecks senkrecht schneidet. Diese Konstruktion lässt sich als kleine Übungsaufgabe wiederum auf der Seite "Besondere Punkte beim Dreieck" durchführen.

Nachweis: Spiekerpunkt ist Schwerpunkt des Dreiecksumfangs

Mit Hilfe der folgenden Animation lassen sich bei Kenntnis der Längenverhältnistreue bei ähnlichen Figuren die ersten der drei oben aufgeführten Eigenschaften des Spiekerpunktes nachweisen. Interessanterweise gehen hierbei zwei physikalische Gesetzmäßigkeiten ein: die vereinfachte Beschreibung der Dreiecksseiten durch deren Schwerpunkt und das so genannte Hebelgesetz.

Hinweise:

  • In der Konstruktion lassen sich die Dreiecksecken verschieben.
  • Mit dem hellblauen Pfeilsymbol oben rechts auf dem Zeichenblatt kannst du die Konstruktion zurück setzten.
  • Die notwendigen Beweiselemente erscheinen durch Öffnen der Schiebeschalter bzw. durch Anklicken der Felder "Begründung".