Quadratische Ergänzung

Jede allgemeine quadratische Gleichung lässt sich durch quadratische Ergänzung in die Form Quadratische Gleichung mit Binom überführen. Die Vorgehensweise hierbei bezeichnet der Mathematiker als "quadratische Ergänzung". Liegt die Gleichung in der obigen Form vor, ist sie leicht zu lösen.

Vorgehensweise bei der quadratischen Ergänzung:

(Nicht mehr Inhalt des Lehrplans in Baden-Württemberg)

  1. Bringe die Gleichung zunächst auf Normalform. Gemischtquadratische Gleichung
  2. "Schiebe" den reinen Zahlenwert (ohne x) auf die andere Seite der Gleichung.
  3. Betrachte die Hälfte des Zahlfaktors vor dem linearen Ausdruck ("das mit x"). Addiere auf beiden Seiten der Gleichung das Quadrat dieser Zahl.
  4. Forme die eine Seite der Gleichung nach der ersten oder zweiten binomischen Formel um und fasse auf der anderen Seite die Zahlausdrücke zusammen.
  5. Damit haben wir eine quadratische Gleichungen, bei der die Variable ausschließlich in der ersten oder zweiten binomischen Formel erscheint. So etwas können wir bereits lösen. Quadratische Gleichung mit Binom
Übrigens wird mit quadratischer Ergänzung sowohl die p-q-Formel (für normierte quadratische Gleichungen) als auch die Mitternachtsformel (für allgemeine quadratische Gleichungen) hergeleitet. Für die p-q-Formel wird die Herleitung bei Wikipedia ausführlich beschrieben. Die Herleitung der Mitternachtsformel ist damit eine schöne Übung für ambitionierte Mathematiker.

Arbeitsblatt zur Vorbereitung auf die quadratische Ergänzung mit Knobelaufgabe

Das folgende Arbeitsblatt liefert eine Wiederholung der Zusammenfassung von gleichartigen Summanden bei Termen sowie der binomischen Formeln zur Vorbereitung auf die quadratische Ergänzung.
Die "Knobelei" am Ende der zweiten Seite dient zur Binnendifferenzierung und gehört nicht zum Thema.

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