Die zweite Ableitungsfunktion

Informationen über die Stammfunktion aus dem Schaubild der 2. Ableitung

Wie aus dem Schaubild der Ableitungsfunktion lassen sich auch aus dem Schaubild der zweiten Ableitungsfunktion Aussagen über den Verlauf möglicher Stammfunktionen treffen. Wiederum lässt sich eine Stammfunktion aus der alleinigen Kenntnis der zweiten Ableitungsfunktion nicht vollständig rekonstruieren. Die hier vorgestellte Animation verdeutlicht warum. Darüber hinaus werden das notwendige und das (erste) hinreichende Kriterium für Wendestellen veranschaulicht. Schieberegler ermöglichen ein Experimentieren mit den Schaubildern. Dies ermöglicht ein dynamisches Verständnis der Informationen aus dem Schaubild der 2. Ableitung.

Der erste Start der Animatin erfordert etwas Geduld.

  • Mit Hilfe des Pfeilsymbols oben rechts lässt sich die Animation zurück setzen.
  • Durch Anklicken des Kästchens kann die Anzeige des (roten) Schaubildes der zweiten Ableitungsfunktion um weitere Objekte erweitert werden. Spielen sie mit der Animation herum und beantworten sie schriftlich folgende

Fragen:

  1. Was kann man über eine Stammfunktion auf jeden Fall sagen, wenn die zweite Ableitung an einer Stelle null ergibt?
  2. Wenn man weiß, dass die erste Ableitung an einer Stelle null ist, wass muss dann bei einer Minimalstelle (Maximalstelle) der Stammfunktion für die zweite Ableitung gelten.
  3. Was kann man über eine Stammfunktion auf jeden Fall sagen, wenn die Funktion der zweiten Ableitung in einem Intervall nur negative Werte liefert?
  4. Was kann man über eine Stammfunktion auf jeden Fall sagen, wenn das Schaubild der zweiten Ableitungsfunktion die x-Achse von oben nach unten (von unten nach oben) schneidet?
  5. Wie sieht es aus, wenn das Schaubild der 2. Ableitungsfunktion die x-Achse nur berührt, ansonsten aber überall oberhalb der x-Achse liegt?
  6. Welche Aussage lässt sich über die Stammfunktion treffen, wenn die zweite Ableitungsfunktion an einer Stelle ein Minimum annimmt?
  7. Welche Information benötigt man neben der Kenntnis der zweiten Ableitungsfunktion mindestens, um eine bestimmte Stammfunktion eindeutig zu identifizieren?
  8. Was geschieht mit den Stammfunktionen in unserem Fall, wenn das Schaubild der 2. Ableitungsfunktion aus dem Anfangszustand in (positive) y-Richtung verschoben wird? Unterscheide drei verschiedene Fälle.
  9. An den äußeren Rändern scheint das Schaubild der Stammfunktion fast "gerade" zu verlaufen - obwohl das Schaubild der 2. Ableitung hier die größten Werte anzeigt. Wie ist das mit dem Begriff der "Krümmung" zu erklären?
  10. Warum "reagiert" das rechte "Becken" im Schaubild der Stammfunktion stärker als das linke auf eine Verschiebung des Schaubildes der zweiten Ableitung in y-Richtung?
  11. Stelle die Animation mit dem blauen Pfeilsymbol oben rechts in den Anfangszustand zurück. Klicke auf die Schaltflächen "Stammfunkton anzeigen" und "2. Ableitungsfunktion in y-Richtung verschieben".
    Verändert man die Lage des Schiebereglers "y-Verschiebung" beobachtet man, dass das Schaubild der Stammfunktion bei manchen Einstellungen nur noch einen Tiefpunkt besitzt. Woran liegt das? Erkläre!

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