Extremwertaufgaben lassen sich elegant mit Hilfe der Differenzialrechnung lösen. Wir beschreiben mit verschiedenen Materialien eine bewährte Vorgehensweise insechs Schritten.

Lösungsstrategie für Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen in sechs Schritten

Extremwertaufgaben löst man in der Regel mit Hilfe der Differenzialrechnung. Oft muss man vor dem Differenzieren mit Hilfe von Nebenbedingungen die Anzahl der Variablen reduzieren. Die Vorgehensweise beim Lösen wird anhand verschiedener Aufgaben beschrieben. Die folgenden sechs Schritte wiederholen sich hierbei bei jeder Problemlösung.

  1. Erstelle, wenn möglich, eine Skizze zur Verdeutlichung der Aufgabenstellung.
  2. Welche Größe soll "extremal" (möglichst groß bzw. möglichst klein) werden? Stelle einen Rechenausdruck für diese Größe auf.
  3. Wenn die extremale Größe von verschiedenen Variablen abhängt, müssen wir alle, bis auf eine entfernen. Hierfür verwenden wir für jede überschüssige Variable eine Nebenbedingung (NB).
  4. Die Nebenbedingungen lösen wir nach den überschüssigen Variablen auf und ersetzen diese damit im Ausdruck für die extremale Größe (Schritt 2). Dieser Ausdruck sollte anschließend nur noch von einer Variablen abhängen - wir interpretieren ihn damit als Zielfunktion.
  5. Mit Hilfe der Differenzialrechnung berechnen wir das Minimum / Maximum der Zielfunktion.
    Aber Achtung (!) - oft ist die Ziefunktion nur für bestimmte Werte der Variablen definiert. Sollte sich der extreme Wert am Rand unseres Definitionsbereichs befinden, kommen wir mit Ableiten nicht zur Lösung. Daher muss man stets die Ränder auf globale Maxima/Minima überprüfen (Randextrema).

    Wenn du einen grafikfähigen Taschenrechner (CAS), ein Computer-Algebra-System oder eine Mathematikprogramm wie z. B. Geogebra zur Hand hast, kannst du die Zielfunktion auch mit Hilfe des Schaubildes (oder mit dem Maximum- (bzw. Minimum-) Befehl) untersuchen. Achte auch hier auf die Ränder des Definitionsbereiches.

  6. Zum Schluss folgt noch die Formulierung eines Antwortsatzes. Überprüfe dabei ob du die Fragestellung vollständig gelöst hast.

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Beispielaufgabe 1