Reihenschaltung von Kondensatoren

Idee: Ursula Schröter, Berufsschulzentrum Radolfzell

Kontext:

Elektrizitätslehre Oberstufe Gymnasium, systematische Behandlung von Schaltungen aus verschiedenen Bauteilen, Verhalten bei Gleich- und Wechselspannung.


Das Experiment:

Bei einer Reihenschaltung aus zwei Widerständen wird an jedem der Widerstände ein Voltmeter angebracht und die Spannungen gemessen. Die angelegte Gesamtspannung teilt sich im Verhältnis der Widerstände auf. Es wird Gleichspannung aus einem Niederspannungsnetzteil verwendet.
Der Versuch ist völlig unkritisch, weil in der Regel die Innenwiderstände der Messgeräte viel größer als die Werte der verwendeten Widerstände R1 und R2 sind.
Die Innenwiderstände von Digitalmultimetern in Spannungsmessbereichen liegen in der Größenordnung von 1 MΩ und sie führen etwa 4 bis 5 Messungen je Sekunde durch.
Spannungsmessung bei zwei Widerständen
Wird das Experiment jedoch mit Kondensatoren anstelle von Widerständen wiederholt, zeigt jedes Voltmeter die Hälfte der angelegten Spannung an! (vgl. Foto)
Das ist unabhängig von den Kapazitäten und auch unabhängig davon, ob zwei gleiche oder zwei verschiedene Kapazitäten verwendet werden!

Aber Moment mal!
Das passt nicht zur Theorie:
Wir haben gelernt, dass in einer Reihenschaltung von Kondensatoren die Ladungen gleich sind, aber sich die Spannungen im umgekehrten Verhältnis der Kapazitäten verhalten.
Es sollte also gelten C1 * U1 = Q = C2 * U2

Im Versuch sehen wir jedoch trotz verschiedener Kapazitäten gleiche Spannungen!

Vergleiche dazu auch diese Seite auf dem Landesbildungsserver: Reihen- und Parallelschaltung von Kondensatoren

Die Multimeter zeigen dasselbe!

Was steckt dahinter?

Sehr groß und unendlich ist nicht dassselbe!

Niederspannungsvoltmeter sind für eine Schaltung sehr große Widerstände, die normalerweise parallel geschaltet fast nichts ausmachen.
Aber Kondensatoren sind für Gleichspannung unendlich große Widerstände.
Hier führt der Weg des geringeren Widerstands, den der meiste Strom nimmt (vom dauerhaft fließenden sogar der gesamte Strom) über die Voltmeter!
In dem Zweig mit den beiden Voltmetern haben wir eine Reihenschaltung von Widerständen. Und wenn diese gleich sind, erhält jeder die Hälfte der Spannung.
Wenn wir jetzt nach Q = C * U mit U0 / 2 für die Kondensatoren die Ladungen berechnen, ergeben sich für verschiedene Kapazitäten zwei verschiedene Werte!

Man sieht der Schaltskizze auch an, wie es dazu kommen kann:
Die "Insel" (rot eingezeichnet) aus der unteren Platte des Kondensators C1 und der oberen Platte des Kondensators C2 ist nicht isoliert. Wäre sie dies, würde sie insgesamt elektrisch neutral bleiben, worin bei der Reihenschaltung von Kondensatoren die Begründung für gleiche Ladungen liegt (s.o.).
Durch die Verbindung vom Punkt zwischen den Widerständen zum Punkt zwischen den Kondensatoren kann die "Insel" aufgeladen werden, und das wird sie in diesem Fall genau so, dass dann die Spannungen über den Kondensatoren gleich sein können.

Legt man zunächst die Spannung U0 an und schaltet erst dann die Voltmeter an, kann man kurz zuschauen, wie die beiden Werte erst zu U0/ 2 finden. Einer beginnt bei einem höheren Wert und fällt, der andere beginnt bei einem tieferen Wert und steigt, bis dann beide auf dem gleichen Wert stabil bleiben.
Ersatzschaltbild Kondensatoren und Voltmeter

Das verbesserte Experiment:

Die Erklärung, warum fest angeschlossene Voltmeter in der Reihenschaltung von Kondensatoren mit Gleichspannung nicht die gelernte Spannungsaufteilung zeigen, weist darauf hin, was wir abändern müssen: nach dem Anschalten der Voltmeter schnell schauen, ehe die Insel aufgeladen wird.

Dazu habe ich zum Vorführen des Versuchs im Unterricht zwei Taster eingebaut, die als An/Aus-Schalter in den Stromwegen über die Voltmeter dienen. In der Schaltskizze sind diese als Schalter gezeichnet. Die Multimeter sind dieselben, hier jetzt als Messgeräte gezeichnet; sie stellen für die Schaltung natürlich nach wie vor große Ohmsche Widerstände dar.
In der Skizze sind die Taster außen, auf dem Foto sind sie innen (nur damit ich sie fürs Foto mit einer Hand drücken konnte).
Schaltskizze um Drucktaster ergänzt
Die Gesamtspannung - Quelle hier nicht mehr im Bild - ist wie vorher knapp über 15 V.
Mit den gezeigten Werten der Kapazitäten stimmt es etwa, dass sich die Spannung im Verhältnis 2:1 aufteilt: - am kleineren Kondensator mit 4,7 µF ergibt sich die doppelte Spannung (10 V) verglichen mit der am großen Kondensator mit 10 µF (5 V)

Ein wenig hat der Ladungsfluss auf die "Insel" zwischen den Kondensatoren jedoch bereits begonnen. Die Voltmeter haben eine gewisse Reaktionszeit von Null auf den plötzlich anderen Wert beim Drücken der Taster zu reagieren und das Abdrücken fürs Foto gab einen weiteren Moment Verzögerung.
So stimmen die Spannungsverhältnisse!

Wenn man verschiedene Typen von Voltmetern in der Physiksammlung hat, kann man noch probieren, welche sich hier am besten eignen.
Sich mit größeren Kapazitäten und somit größeren Zeitkonstanten etwas mehr Zeit zum Schauen zu verschaffen, wäre eine weitere Verbesserung.

Aber im Unterricht haben wir viele Schüleraugen, also vorher Gruppen bilden, wer auf welchem Anzeigegerät den möglichst größten bzw. kleinsten Wert schnell sieht. Wichtig ist noch, vor einer Wiederholung des Versuchs die Kondensatoren ganz zu entladen: Quellspannung abschalten oder auf Null herunterdrehen und die Taster lange drücken, bis beide Voltmeter Null zeigen.

Weitere Anmerkungen:

Mit Wechselspannung gelten dieselben Gesetze für die Spannungsaufteilung in Reihenschaltungen von Widerständen bzw. Kondensatoren.
Mit Wechselspannung ist es auch kein Problem, die Spannungsaufteilung bei der Reihenschaltung von Kondensatoren mit fest angeschlossenen Voltmetern zu zeigen. Taster sind dabei nicht nötig.
Für Wechselspannung ist ein Kondensator kein unendlich großer Widerstand, sondern ein (Blind-)Widerstand von 1 / (ω * C).
Bei 50 Hz wäre der Wechselstromwidersrand des 10 µF Kondensators z.B. 318 Ω.
Ich finde es trotzdem wichtig, den Aufbau ehrlicherweise zunächst mit Gleichspannung zu machen. Denn bevor die Dynamik des Auf- und Entladens von Kondensatoren durchgenommen wird, lernen Schüler den statischen Fall vollständig aufgeladener Kondensatoren.

Dass dieser Punkt recht subtil ist, hat sich mir jetzt im Nachhinein bei genauerer Betrachtung eines Schulbuchs gezeigt: im Dorn/Bader Physik Oberstufe Gesamtband 12/13 von 2001 sind im Kapitel 8 bei der Reihenschaltung von Widerständen drei Spannungsmesser als Messgeräte gezeichnet, im Kapitel 12 bei der Reihenschaltung von Kondensatoren jedoch nur U1 bis U3 als theoretische Werte darangeschrieben.
(Ganz allgemein kann eine Versuchsskizze statt eines Experimentfotos ein Hinweis darauf sein, dass das Experiment nicht trivial ist!)

Zur Einführung des Kondensators haben wir natürlich einen großen Plattenkondensator, der auf mehrere Kilovolt aufgeladen werden kann, und dazu ein Hochspannungsmessgerät, das stromlos misst. Aber wer hat schon zwei davon und baut daraus Reihenschaltungen?

Und zum Thema elektrische Schaltungen eignen sich Stecksysteme, mit denen Schüler im ungefährlichen Spannungsbereich sehr vieles selber durchprobieren können. Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren mit Gleichspannung ging es mir hier also speziell um die Realisation mit üblichen Stecksystemen und Voltmetern und die Passung zu gängigen Rechenaufgaben dazu.
Interessanterweise liegt hier ein Fall vor, wo aufzupassen ist, dass Messgeräte die Schaltung nicht grundlegend abändern. Diesen Aspekt kann man Schülern hiermit ebenfalls vermitteln.
Wie heißt es so schön: "Wer misst, misst Mist".