Freie Schwingungen

Freie Schwingungen

Auf dieser Seite geht es um freie Schwingungen, die man z.B.bekommt, wenn eine Masse m an einer elastischen Feder der Federhärte k schwingt.

Oscila_1.gif (2308 bytes)

Wenn die Masse um eine Strecke x aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt ist, wirkt auf sie eine Kraft, die proportional zur Auslenkung x ist und deren Richtung der Auslenkung entgegengesetzt ist, wie man in der Abbildung sieht.

Die Bewegungsgleichung kann man schreiben als:

Bild freisch1.gif

Dabei ist -kx die Kraft der Feder (F=D*s, hier k*x), sie ist der Auslenkung x proportional, aber entgegengesetzt (daher das - Vorzeichen).
In der Zeichnung ist die Masse aus der Gleichgewichtslage (O) um die Strecke x nach rechts (positive x-Achse) ausgelenkt, die dazu proportionale Kraft der Feder wirkt aber nach links (in Richtung negativer x-Achse).
Diese Federkraft wirkt nach dem Kraftgesetz von Newton als beschleunigende Kraft (F=m*a).

Wenn man noch berücksichtigt, dass die Beschleuningung die zweite Ableitung der Auslenkung x ist, kann man diese Gleichung als Differenzialgleichung zweiter Ordnung schreiben.

Bild freisch2.gif

w0 heißt Eigenfrequenz des schwingungsfähigen Systems ( harmonischer Oszillator).

In der Physik gibt es ganz verschiedene schwingungsfähige Systeme - in der Mechanik, in der Elektrizitätslehre und bei schwingenden Flüssigkeitssäulen - die man mit einer solchen Differenzialgleichung zweiter Ordnung beschreiben kann. Alle haben die gleiche Lösung: die harmonischen Funktionen Sinus und Cosinus.Vergleiche hierzu folgende Seite.

Die Lösung dieser Differenzalgleichung ist

Ansatz

Geschwindigkeit

Anfangsbedingungen

Die Lage x0 und die Geschwindigkeit v0 ganz zu Beginn der Schwingung bestimmen die Amplitude A und den Phasenwinkel j. Für t=0 ist

x0=A·sinj
v0=Aw0·
cosj

In diesen Gleichungssystemen hängen A und j also von den Werten von x0 und v0 ab.

Beispiel: Nehmen wir ein schwingungsfähiges System mit der Winkelgeschwindigkeit w0=100 rad/s an. Wir wissen weiter, dass die Anfangsauslenkung des Teilchens x0=5 beträgt und es aus der Ruhe, also mit v0=0 startet. Dann können wir die Gleichungen schreiben als

5=A·sinj
0=
100·cosj

Und die Gleichung des schwingungsfähigen Systems ist dann

x=5·sin(100t+ p/2)


(Abstraktere Ergänzung)

Eine andere Betrachtungsweise des schwingungsfähigen Systems wäre ein sogenannter Phasenraum, in dem der Impuls oder die Geschwindigkeit v auf der vertikalen Achse und die Auslenkung des schwingungsfähigen Körpers (also der Masse) auf der horizontalen Achse aufgetragen ist.

x=A·sin(w0+ j)
v=A·w0cos(w0+ j)

Eliminiert man die Zeit t in diesen beiden Gleichungen, so bekommt man die Gleichung eines gedachten umlaufenden Punktes in diesem Phasenraum, es ist die Gleichung einer Ellipse.


Gleichung

Energie des schwingungsfähigen Systems.

Das Hauptmerkmal einer freien Schwingung ist, dass die Amplitude der Schwingung konstant bleibt und daher die Gesamtenergie des Systems konstant bleibt. Das System verliert also keine Energie. Die Gesamtenergie E ist also die Summe aus der Bewegungsenergie der Masse und der Spannungsenergie der Feder. Dies ist gleich der Spannungsenergie, die die Feder vor Beginn der Schwingung durch Spannen erhalten hat.

Energie


Aktivitäten.

Setze Werte für folgende Größen ein:

  • die Ausleunkung am Anfang x0, in das Eingabefeld Posición
  • die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers v0, in das Eingabefeld Velocidad.
  • die Winkelgeschwindigkeit von w0=100 rad/s kann hier nicht verändert werden.

Drücke den Knopf Empieza.

  • beobachte die Auslenkung der Masse zu verschiedenen Zeitpunkten und das x-t- Diagramm.
  • die gedachte Umlaufkurve im Phasenraum v-x, oben rechts.
  • die Gesamtenergie als Funktion der Zeit E-t, unten rechts.

Man kann die Darstellung mit Pausa unterbrechen und mit Continua fortsetzen sowie mit Paso im Einzelschrittmodus weiterschalten.

Probiere folgende Möglichkeiten aus:

  • lasse die Geschwindigkeit (velocidad) auf 0 und gebe eine positive und eine negative Auslenkung ein. Von wo startet die Masse?
  • setzte die Auslenkung auf 0 (die Masse startet also aus der Ruhelage) und gib eine Anfangsgeschwindigkeit ein.

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Wie man eine reale, gedämpfte Schwingung darstellen kann findest du hier.


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