Landesbildungsserver Baden-Württemberg - Geometrische Beweise
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Geometrische Beweise


Anhand von geometrischen Beweisen können Schülerinnen und Schüler die mathematische Beweisführung erlernen und üben.
Dynamische Arbeitsblätter beschreiben anhand von ausgesuchten Übungsaufgaben die Beweisstruktur und liefern Tipps, damit ähnliche Fragestellungen selbstständig gelöst werden können.
Mit Hilfe von animierten, dynamischen Aufgabenblättern werden verschiedene Beweise des Satzes von Pythagoras anschaulich beschrieben. Unter anderem finden Sie hier den berühmten historischen Beweis von Euklid, sowie Beweise nach Albert Einstein, Leonardo da Vinci und Arthur Schopenhauer. Die Seiten eigenen sich besonders als Grundlage für Gruppenarbeiten mit Schülerreferaten. Beachten Sie, dass einzelne Beweise (Einstein, Vektorbeweis) Grundwissen höherer Jahrgangsstufen erfordert. Diese Bereiche eignen sich zur Binnendifferenzierung.
Die Kongruenzsätze bilden ein starkes Beweismittel in der Schulgeometrie. Mit ihnen gelingt in vielen Fällen der Nachweis von Längen- oder Winkelgleichheit. Neben einem Unterrichtsvorschlag zur Einführung finden Sie hier verschiedene Aufgaben zu Kongruenzbeweisen. Darüber hinaus werden ausführliche Musterlösungen angeboten.
Beweisen gehört in vielen Augen zu den schwierigsten Disziplinen der Schulmathematik. Mit ein paar Überlegungen und etwas Übung lassen sich jedoch Regelmäßigkeiten finden, die bei vielen Aufgaben zum Ziel führen.
Wir stellen hier anhand mehrerer Beispiele die Beweistechnik des Rückwärts Rechnens vor.
Neben motivierenden Beispielaufgaben finden Sie unter den Materialien Anleitungen, Animationen und weitere Anregungen.
In mehreren Schritten wird anhand eines dynamischen Arbeitsblattes die Aussage des Umfangswinkel- (auch Randwinkel- oder Peripheriewinkel-) Satzes bewiesen.
Der Beweis beeindruckt durch seine Einfachheit:
Ausgehend von zwei Durchmessern werden durch Parallelverschiebung Kreisbögen "übertragen". Der Schnittwinkel der Durchmesser legt hierbei bereits den Umfangswinkel fest. Außer Kenntnissen über Achsen- und Drehsymmetrie ist zum Verständnis kein weiteres Grundwissen notwendig.
Nebenbei stößt man hier auf  die Beziehung zwischen Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel sowie auf die Winkelbedingungen für Sehnenvierecke.
Bei dem interaktiven Beweis des Satzes von der Winkelhalbierenden lassen sich durch Schiebeschalter Hinweise und Teilkonstruktionen im GeoGebra-Zeichenblatt anzeigen. Der Beweis ist eine schöne Anwendung des ersten Strahlensatzes, der mit einem Trick angewendet werden kann.  Allerdings muss nachgewiesen werden, dass die Voraussetzungen für den Satz erfüllt sind.
Der Inkreismittelpunkt im Höhenfußpunktdreieck ist bei einem spitzwinkligen Dreieck gleichzeitig der Schnittpunkt der Dreieckshöhen.
Der Beweis dieses Satzes verbindet elementare geometrische Aussagen (Winkelsumme im Dreieck, Thalessatz, Umfangswinkelsatz) und stärkt somit in hohem Maße das vernetzte Denken.
Darüber hinaus liefert die dynamische GeoGebra-Animation weitere interessante und wissenswerte Zusammenhänge zwischen dem Höhenfußpunktdreieck und dem Ausgangsdreieck insbesondere bei stumpfwinkligen Dreiecken. 
Das Schmetterlings-Theorem liefert in optisch ansprechender Weise einen  schönen geometrischen Zusammenhang am Kreis.
Die dynamische GeoGebra-Konstruktion kann mit Schiebeschaltern um den jeweils folgenden Beweisschritt erweitert werden. Für den Beweis werden Ähnlichkeit, Kongruenz und die Aussage des Umfangswinkelsatzes benötigt.
Im Gegensatz zum Ptolemäischen Weltbild hat der Satz des Ptolemäus bis heute seine Gültigkeit. Leider ist er inzwischen weitgehend in Vergessenheit geraten.
Auf den folgenden Seiten wird dieser schöne Satz mit seiner Umkehrung vorgestellt. Darüber hinaus beschreiben dynamische GeoGebra-Animationen mit Schiebeschaltern die Struktur eines möglichen Beweises. Auch werden Anwendungen des Satzes von Ptolemäus am Beispiel des Satzes von Pythagoras und dem Kosinussatz vorgestellt.
Voraussetzungen für das Verständnis sind die Kenntnis des Umfangswinkelsatzes sowie den Eigenschaften von zentrischen Streckungen. Beim Beweis des Kosinussatzes wird darüber hinaus die Definitionserweiterung auf beliebige Winkel beim Kosinus vorausgesetzt.
Wir liefern den Nachweis, dass  neun besondere Punkte beim Dreieck auf einem Kreis liegen. Dynamische GeoGebra-Konstruktionen veranschaulichen die Vorgehensweise spielerisch.
Der Feuerbachsche Kreis liefert einen der schönsten geometrischen Zusammenhänge überhaupt. Darüber hinaus lassen sich mit ihm verschiedene Dreiecksobjekte miteinander in Beziehung bringen. Diese Seiten eignen sich daher nicht nur zu Vorbereitung auf Wettbewerbe sondern auch zur Vernetzung von bekanntem Wissen der Sekundarstufe 1.
Beim ersten Beweis wird lediglich etwas Wissen über die Eigenschaften von Seitenmittenparallelen, Sehnenvierecken und der Mittelparallelen eines Parallelenstreifens vorausgesetzt. Beim Alternativbeweis kommt noch die Umkehrung des Thalessatzes hinzu. Schließlich liefert die Anwendung der zentrischen Streckung einen überraschenden Zusammenhang zwischen Feuerbachkreis und Umkreis.
Zusätzlich steht eine Zusammenfassung beider Beweise mit weiteren Hinweisen zum Download bereit.
Eine einfache Anwendung des Thalessatzes und der Streifenschar belegt einen geometrischen Zusammenhang zwischen den Berührpunkten von Inkreis und Ankreis an eine Dreiecksseite: sie liegen symmetrisch bezüglich der jeweiligen Seitenmitte.
Als Schwerpunkt des Dreiecksumfang besitzt der Spiekerpunkt bereits eine beachtliche Eigenschaft. Beweist man dies, stößt man auf weitere interessante Zusammenhänge - vor allem mit dem Schwerpunkt und dem Inkreismittelpunkt. Auch zwischen Nagelpunkt, den Ankreisen und dem Spiekerpunkt gibt es Verbindungen.
Schließlich gibt es noch eine gemeinsame Gerade auf der die soeben erwähnten Punkte zu finden sind. Eine enge Verwandschaft zur Eulergeraden ist hierbei nicht zu übersehen.
Das Produkt der drei Dreiecksseiten entspricht dem Vierfachen Produkt aus Dreiecksfläche und Umrkreisradius. Mit dem Umfangswinkel-Mittelpunktswinkelsatz ist dies recht leicht zu beweisen. Voraussetzung sind die Kenntnis dieses Satzes sowie die Streckenverhältnistreue der Ähnlichkeitsabbildung.
Anhand einer Aufgabe aus einem Probewettbewerb von Mathematik ohne Grenzen wird auf eine einprägsame Besonderheit des rechtwinkligen 30°-Dreiecks hingewiesen. Der Beweis hierzu verlangt einfache geometrische Grundkenntnisse zu gleichschenklingen bzw. gleichseitigen Dreiecken sowie den Mittelparallelen beim Dreieck.
Der Nagelpunkt ist der Schnittpunkt der Verbindungsstrecken zwischen den Ankreisberührpunkten der Dreiecksseiten und den gegenüberliegenden Ecken. Der Nachweis, dass diese Strecken sich tatsächlich schneiden erfolgt mit Hilfe der Rückrichtung des Satzes von Ceva.
Für den Beweis wird neben der Kenntnis des Satzes von Ceva lediglich der Kongruenzsatz sww verwendet. Er liefert einen interessanten Zusammenhang zwischen den Ankreisberührpunkten und dem Umfang eines Dreiecks.
Mit Hilfe der Animation zum Beweis können auch der Inkreismittelpunkt und der Schwerpunkt des Dreiecks angezeigt werden. Diese stehen mit dem Nagelpunkt in einer besonderen Beziehung.

Tipp:
Für interessierte Mathematiker lohnt sich darüberhinaus ein Blick auf den Beweis zur    Symmetrie von Ankreis- und Inkreisberührpunkten.
Ein dynamisches Arbeitsblatt mit einer schöne Anwendung der Streifenschar, die aus einer Geraden gleich lange Stücke "herausschneidet".
Die Animation beschreibt den Beweis zu einer Aufgabe beim Landeswettbewerb Mathematik von 2009. Mit Hilfe einer Spiegelung und einer Drehung wird gezeigt, dass zwei Strecken gleich lang sind. Ein Flash-Lernvideo beschreibt die Beweisführung in kleinen Schritten und liefert weitere Informationen.
Mit Hilfe des Umkreises und einem "Berührkreis" an eine Dreiecksseite wird ein Winkel halbiert. Dies soll in einem Beweis begründet werden.
Im Beweis werden Umfangswinkel, Sehnen-Tangenten-Winkel, gleichschenklige Dreiecke und Stufenwinkel an Parallelen verwendet.
Mit Hilfe einer Animation und eines Lernvideos werden die einzelnen Beweisschritte dargestellt und erläutert. Weitere Aufgaben und Fragestellungen ergänzen das Angebot.
Das Lernvideo geht neben dem Beweis näher auf den Zusammenhang zwischen Umfangswinkel und Sehnen-Tangenten-Winkel ein und stellt verschiedene Werkzeuge zum Nachweis gleicher Winkel vor.
Der Nachweis der gleichen Radien bei den Zwillingskreisen des Archimedes ist eine schöne Anwendung des Satzes von Pythagoras unter Verwendung der binomischen Formeln. Schieberegler in der GeoGebra-Animation erleichtern das Verständnis der Beweisstruktur.
Bei dieser Wettbewerbsaufgabe soll bei einer Dreieckskonstruktion die Äquivalenz zwischen einer Streckengleichheit und einer Orthogonalität nachgewiesen werden. Dies ist in der Unter- und Mittelstufe auf verschiedene Arten (Kongruenz, Höhenschnittpunkt) möglich. Die LWM-Aufgabe eignet sich aber auch als Beweisaufgabe für die Jahrgangsstufen unter Verwendung des Skalarproduktes. Es werden drei Beweise mit Animationen und ausführlichen Lösungen vorgestellt - zum Teil mit Arbeitsblättern für den Unterrichtseinsatz.
Mit einem Trick wird bei dem vorgestellten Lösungsweg der Satz des Pythagoras "ins Spiel gebracht". Weiter wird für das Verständnis die Kenntnis der Kongruenzsätze und der Thaleskreiseigenschaften vorausgesetzt. Dass Tangentenabschnitte von einem Punkt außerhalb eines Kreises gleich lang sind ist eine einfache Symmetrieeigenschaft. Hier nutzen wir dies bei gemeinsamen Tangenten, um die Gleichheit mehrerer Strecken zu begründen.
Bei dieser Übungsaufgabe zum Umfangswinkelsatz (auch Peripheriewinkelsatz oder Randwinkelsatz) muss die Richtigkeit einer interessanten Höhenkonstruktion beim Dreieck nachgewiesen werden. Für das Verständnis des Beweises wird neben dem Umfangswinkelsatz auch die Kenntnis der Winkeleigenschaft von Sehnenvierecken vorausgesetzt. Die animierte Aufgabe ist neben dem Unterrichtseinsatz sehr gut zum Selbststudium bei der Vorbereitung auf Wettbewerbe geeignet.
Wie beschreibt man, dass ein Punkt einen Kreis durchläuft?
Bei dieser Beweisaufgabe aus der ersten Runde des Landeswettbewerbs Mathematik 2012 muss diese Tatsache mathematisch begründet werden. Hierbei reicht es nicht zu zeigen, dass der Punkt immer auf einem Kreis liegt. Man muss weiter nachweisen, dass tatsächlich alle Kreispunkte durchlaufen werden.
Im zugehörigen Lernvideo wird ein Beweisvorschlag vorgeführt, der sowohl den Thalessatz als auch seine Umkehrung verwendet und auf die Kongruenzsätze zurück greift.
Mit Hilfe des Inkreises und einem hieraus konstruierten Parallelogramm lassen sich jeweils zwei Dreiecksseiten halbieren. Warum das funktioniert, wird hier in mehreren animierten Schritten beschrieben.
Zum Verständnis werden die Kenntnis von Sehnen-Tangenten-Winkeln, der Umfangswinkelsatz, das Sehnenviereck, Ähnlichkeitseigenschaften und die Strahlensätze benötigt.
Die Diagonalen eines konvexen Vierecks zerlegen dieses in vier Teildreiecke. Die Schwerpunkte dieser Teildreiecke bilden ein neues Viereck. Welcher Anteil der ursprünglichen Vierecksfläche wird durch das neue Viereck überdeckt?
Der vorgestellte Beweisvorschlag benutzt die Drehung als Kongruenzabbildung sowie die zentrische Streckung von Flächen. Eine Animation ermöglicht den schrittweisen Zugang zum Beweis. Darüber hinaus werden die Beweisschritte in einem Lernvideo ausführlich beschrieben.
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