Der Umfangswinkelsatz
Ein sehr schöner und anschaulicher Beweis des Umfangswinkelsatzes (oft auch Randwinkel- oder Peripheriewinkelsatz)
Die folgenden Schritte begründen die Aussage des Umfangswinkelsatzes. Sie verfolgen in anschaulicher Weise einen Weg, den Winfried Haag in seinem Buch "Wege zu geometrischen Sätzen" (Klett-Verlag 2003, ISBN 3-12-720120-6) vorschlägt.
Aussage des Umfangswinkelsatzes:
Alle Umfangswinkel (=Rand- oder Peripheriewinkel) über einem
Kreisbogen sind gleich groß.
Da durch eine Kreissehne zwei Kreisbögen bestimmt werden, lautet die
entsprechende Aussage: Alle Umfangswinkel auf der gleichen Seite einer
Sehne sind gleich groß.
Zum Beweis:
Für den hier vorgestellten Beweis des Umfangswinkelsatzes wird lediglich
Grundwissen über Punkt- und Achsenspiegelungen notwendig. Die die Gleichheit von Stufen- und Wechselwinkeln
folgt aus der Winkeltreue bei Verschiebungen und Spiegelungen. Die Kenntnisse über gleichschenklige Dreiecke und das Lösen
von Gleichung, die beim "üblichen" Beweis unumgänglich sind, spielen hier
keine Rolle. Bei der Beweisführung ergibt sich automatisch der Zusammenhang
von Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel über einem Kreisbogen.
Anwendung: Konstruktion von regelmäßigen n-Ecken mit Hilfe von Geradenbüscheln
Verschiebt man ein Geradenbüschel in der Ebene und führt anschließend eine Drehung durch, so liegen die Schnittpunkte sich entsprechender Geraden auf einem Kreis durch die Büschelzentren. Bei regelmäßigen Geradenbüscheln lassen sich auf diese Weise regelmäßige n-Ecke konstruieren. Mit Hilfe einer GeoGebra-Animation wird das Verfahren am Beispiel eines Büschels mit drei Geraden vorgestellt.
Ein Übungsblatt zum Umfangswinkelsatz mit Tipps und Hinweisen
Die Übungen dieses Arbeitsblattes verlangen die Anwendung des Umfangswinkelsatzes. Durch Beachten der Tipps können die Schüler schnell zu einer Lösung kommen.
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Anwendung des Umfangswinkelsatzes beim Beweisen
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Bei einem spitzwinkligen Dreieck ist der Höhenschnittpunkt gleichzeitig
auch der Mittelpunkt des Inkreises vom Höhenfußpunktdreieck.
Für den Beweis dieser Aussage wird neben dem Umfangswinkelsatz auch der Satz über die Winkelsumme im Dreieck sowie der Thalessatz benötigt.
- Bei diesem umfangreichen dynamischen Arbeitsblatt mit Geonext Zeichenflächen wird aufgezeigt, wie man einen Nachweis über gleiche Streckenlängen führen kann. Zusätzlich wird der Umfangswinkel-Mittelpunktswinkelsatz und etwas Wissen über Drachenvierecke benötigt. Die Lernumgebung eignet sich zum Selbststudium für Schüler, als GFS-Thema im Mathematikunterricht oder zur Binnendifferenzierung als Wettbewerbstraining.
- Wie lässt sich mit Hilfe von Sehnenvierecken und dem Umfangswinkelsatz nachweisen, dass eine Gerade eine Dreiecksseite senkrecht schneidet? Diese mittelschwere Übung zur Beweisführung mit dem Umfangswinkelsatz und den Winkeleigenschaften von Sehnenvierecken eignet sich in besonderer Weise zur Motivation und Vorbereitung auf Wettbewerbsaufgaben.
