Der Schwerpunkt beim Dreieck

Schwerelinie im Dreieck Hängt man ein Dreieck an einer Ecke auf und lässt gleichzeitig vom Aufhängepunkt eine Schnur mit einem Gewicht herab hängen, so beschreibt die Schnur eine "Schwerelinie" des Dreiecks. Auf diese Weise findet man zu jeder Ecke genau eine Schwerelinie, die jeweils von einer Ecke durch die gegenüberliegende Seitenmitte verläuft. Diese drei Strecken heißen Seitenhalbierende. Sie schneiden sich in einem Punkt- dem Schwerpunkt S des Dreiecks.

Hinweise:

Jede Seitenhalbierende teilt das Dreieck in zwei flächengleiche Hälften. Beachte, dass dies bei einer Winkelhalbierenden im Allgemeinen nicht der Fall ist. Nachweis der Flächengleichheit.
Der Schwerpunkt der Dreiecksfläche teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1. Zum Beweis.
Durch zentrische Streckung am Schwerpunkt mit dem Faktor -0,5 lässt sich der Höhenschnittpunkt H in den Umkreismittelpunkt U überführen. Alle drei Punkte liegen somit auf einer Geraden - der Eulergeraden - und der Schwerpunkt teilt die Strecke HU im Verhältnis 2:1. Das ursprüngliche Dreieck wird hierbei zum Seitenmittendreick.
Jede ebene Fläche besitzt einen Schwerpunkt. Hierzu bestimmt man auf die oben beschrieben Weise den Schnittpunkt zweier Schwerelinien. Alle anderen Schwerelinien verlaufen ebenfalls durch diesen Schwerpunkt.
Bei festen Körpern findet man den Schwerpunkt durch Ausbalancieren auf einem Finger.Bei schmalen Gegenständen (z. B. einem Besen) genügt es, wenn man den Gegenstand auf zwei Finger legt und die Finger langsam aufeinander zubewegt. Schließlich liegen die Finger nebeneinander und man kann vorsichtig einen Finger weg nehmen.
Der Schwerpunktbegriff ist beim Dreieck nicht ganz eindeutig. Auf die oben beschriebene Art haben wir den Schwerpunkt der Dreiecksfläche gefunden. Dieser Schwerpunkt stimmt mit dem Schwerpunkt der Dreiecksecken überein. Schließlich gibt es noch denSchwerpunkt der Dreieckslinien (auchSchwerpunkt des Dreiecksumfangs). Dieser Punkt heißt Spiekerpunkt des Dreiecks. Durch zentrische Streckung mit dem Faktor -2 am Flächenschwerpunkt lässt sich der Spieker-Punkt in den Inkreismittelpunkt des Dreiecks überführen. Damit liegen auch diese drei Punkte auf einer Geraden und der Schwerpunkt teilt die Strecke zwischen Inkreismittelpunkt und Spieker-Punkt im Verhältnis 2:1. Siehe: Besonderdere Punkte im Dreieck und Der Spiekerpunkt als Schwerpunkt des Dreiecksumfangs.
Aus den Längen der drei Seitenhalbierenden lässt sich mit Zirkel und Lineal das zugehörige Dreieck konstruieren. Dieser Aufgabentyp gehört zu den anspruchstvollsten Fragestellungen in diesem Themenbereich.
Dynamische Animation dieser Aufgabenstellung mit Lösungshinweisen.