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Modellieren - Anwendungsaufgaben

Der "Vier-Stufen-Kreislauf" beim Modellieren

Die große Stärke der Mathematik besteht darin, dass Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übertragen werden können. Hier werden mit den bekannten Rechengesetzen Lösungen gefunden, die anschließend auch als Lösung des Alltagsproblems interpretiert werden können.

Vier-Stufen-Kreislauf

   Vier-Stufen-Kreislauf


Modellieren mit linearen Gleichungssystemen

Viele Textaufgaben lassen sich aus der "realen Welt" in die "abstrakte Mathematik-Welt" übertragen. Hier verwendet der Mathematiker bekannte und bewährte Rechenmethoden um zu einer Lösung zu gelangen. Anschließend erfolgt eine "Rücktransformation" in die reale Welt mit der Interpretation der mathematischen Lösung. Am Beispiel einer anspruchsvollen Standardaufgabe wird die Vorgehensweise ausführlich beschrieben. Beim nachfolgenden Aufgabenblatt kann die Vorgehensweise anhand weiterer Beispiele eingeübt werden. Hierbei können die Lösungen entweder umgeklappt oder vom Lehrer abgetrennt werden.

   Modellieren mit linearen Gleichungssystemen


Modellieren durch Streckung und Verschiebung der Normalparabel

Waagerechter Wurf

Beim waagerechten Wurf bewegt sich der Wurfkörper auf einem Ast einer nach unten geöffneten Parabel. Die zugehörige Funktion der Wurfparabel erhält man durch Streckung und Verschiebung der Normalparabel in x- und y-Richtung.
Mit geringem physikalischen Grundwissen wird in mehreren Schritten mit verschiedenen interaktiven Animationen die Vorgehensweise beschrieben. Darüber hinaus finden Sie weiterführende Aufgaben zur Parameterbestimmung und zur Aufstellung verschiedener funktionaler Zusammenhänge.
Die vorgestellten Materialien eignen sich zur Gruppenarbeit.

 Modellierung des waagerechten Wurfs


Modellieren beim radioaktiven Zerfall

In Fokushima und Tschernobyl sind große Mengen an radioaktivem Material in die Umwelt gelangt. In der hier vorgestellten Modellierung zu diesem Thema wird mit Hilfe der Halbwertszeit auf verschiedene Arten eine Zerfallsdauer berechnet. Darüber hinaus beinhaltet das Blatt Aufgaben und eine Nachbetrachtung mit einem kurzen Vergleich der Lösungswege.

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Modellieren von periodischen Vorgängen

Am Beispiel des Temperaturverlaufs bei einem Baggersee wird auf zwei verschiedene Arten eine Lösung angeboten. Zunächst ermöglicht der Taschenrechner eine Funktionsbestimmung mit Hilfe der Wertetabelle per (trigonometrischer) Regression.
In vielen Fällen benötigt man jedoch gar keinen Taschenrechner - so auch hier. Mit Hilfe einfacher Streckungen und Verschiebungen in x- und y-Richtung lässt sich eine Funktion aufstellen, die sehr gute Ergebnisse liefert.

   Modellieren von periodischen Vorgängen


Modellieren mit einer Abstandsfunktion

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Wenn sich ein Punkt auf einer bestimmten Bahn (dem Schaubild einer Funktion) bewegt, interessiert uns gelegentlich der Abstand zu einem anderen Punkt. Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras können wir leicht den Abstand zwischen zwei festen Punkten berechnen.
Wenn wir dieses Verfahren verallgemeinern, erhalten wir eine (vom x-Wert des Kurvenpunktes abhängige) Abstandsfunktion. Diese Abstandsfunktion (und ihr Schaubild) liefert uns viele Informationen, die uns beim Modellieren von Anwendungsaufgaben weiter helfen.

Bei der vorgestellte Animation lässt sich das Schaubild der "Bahnkurve" mit Hilfe von Funktionen verändern. Ebenso kann der "Bezugspunkt außerhalb des Schaubildes" im Fenster verschoben werden. Hierdurch verändert sich augenblicklich das Schaubild der Abstandsfunktion.
Somit lassen sich viele Aufgabenstellungen mit Hilfe der Animation kontrollieren und auch variieren um mathematische Erkenntnisse zu vertiefen.

   Modellieren mit einer Abstandsfunktion


Modellieren von Bewegungsaufgaben (mit Lernvideo)

Vorschau

Mit Geradengleichungen in Parameterform lassen sich geradlinige Bewegungen im Raum beschreiben. Ein Lernvideo beschreibt, welche Besonderheiten hierbei zu beachten sind.
Weiter werden an verschiedenen Beispielaufgaben mit U-Booten typische Fragestellungen vorgestellt. (Zum Teil mit ausführlichen Lösungsvorschlägen.)

   Modellieren von Bewegungsaufgaben


Modellieren mit Funktionen am Beispiel einer Wettbewerbsaufgabe

Vorschau Am Beispiel einer Aufgabe des Landeswettbewerbes Mathematik aus dem Jahr 2008 wird anhand einer konkreten Problemstellung die Vorgehensweise von der Termerstellung bis zur grafischen Lösung beschrieben.
Die Aufgabenstellung wird durch Fotos und Skizzen anschaulich dargestellt. Darüber hinaus werden sie durch Tipps schrittweise zur Lösung geführt. 
Bei der hier vorgestellten Lösung wird der grafikfähige Taschenrechner oder ein grafisches Mathematik-Programm (z. B. GeoGebra) sinnvoll eingesetzt.

   Von der Termerstellung zur grafischen Lösung


Die vier Urnenmodelle zur Bestimmung von Möglichkeiten bei einer Stichprobe

Bei dieser kombinatorischen Modellierung werden verschiedenen Fragestellungen nach Anzahlen in "Urnenmodelle" transformiert. Hierbei werden die Urnenmodelle bei Ziehungen mit/ohne Zurücklegen und mit/ohne Beachtung der Reihenfolge untersucht. Insgesamt ergeben sich vier Formeln, die bei vielen ähnlichen Aufgaben zu Lösungen führen.

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Weitere Beispiele und viele Materialien zum Thema Modellieren

Mit mathematischen Modellen lassen sich viele Entwicklungen aus dem Alltag beschreiben.

Seit dem Jahr 2000 hat das pädagogisches Institut für die deutsche Sprachgruppe in Bozen unzählige Beispiele zu Themen aus Gesellschaft und Politik, Wirtschaft , Biologie, Physik und Technik, Sport und Freizeit bis hin zu Ökologie und Landwirtschaft für den Einsatz im mathematisch naturwissenschaftlichen Unterricht aufgearbeitet.

Zu jedem Thema werden für verschiedene Altersstufen (ab Klasse 7) einführende und weiterführende Fragen mit weitern Detailinformationen vorgeschlagen. Darüber hinaus gibt es vielerlei Hilfen bei der Modellierung und Anregungen zum selbstorientierten Lernen.

   Modellieren mit Mathe


Zuletzt geändert am 11.10.2016
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