Landesbildungsserver Baden-Württemberg - Differentialrechnung
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Differenzialrechnung

Von der Sekante zur Tangente

Wir wollen eine Tangente in einem Kurvenpunkt an das Schaubild einer Funktion legen. Dieses Problem kann - wie aus der Geometrie der Mittelstufe bekannt - als Suche nach der Grenzlage von Sekanten aufgefasst werden.

Die folgende Animation veranschaulicht die Vorgehensweise: die Sekantensteigung wird hierbei durch den Differenzenquotienten mit der h-Methode dargestellt. Mit einem Rechtsklick auf das Schaubild der Funktion, kann diese diese "umdefiniert" werden.     Animation: Von der Sekante zur Tangenten).

Die Annäherung einer Sekantenfolge an eine Tangente (Grenzlage) lässt sich rechnerisch (zuerst für eine ganzrationale Funktion) nachvollziehen. Somit gelangt man zum Begriff der Steigung einer gekrümmten Funktionskurve und spricht im Folgenden von der "ersten Ableitung" einer Funktion.


Von der Funktion zur Ableitungsfunktion

Die folgenden dynamischen Arbeitsblätter von Markus Hohenwarter verdeutlichen mit Hilfe von GeoGebra-Animationen den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion. Beim ersten Blatt wird eine quadratische Funktion vorgestellt, beim zweiten Blatt handelt es sich um eine ganzrationale Funktion vom Grad 3. Beim dritten Arbeitsblatt können die Schüler die notwendige Bedingung für Extremstellen experimentell entdecken.

Einsatzmöglichkeiten:

  • Nachdem der Ableitungsbegriff eingeführt wurde, haben die Schüler bereits die Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen kennen gelernt. In diesem Fall wird anhand der Arbeitsblätter der Zusammenhang zwischen Tangentensteigung und den Funktionswerten der Ableitungsfunktion wiederholt.
  • Die Schüler kennen den Ableitungsbegriff als Steigung der Tangenten. Der Lehrer gibt die Ableitunsregel für ganzrationale Funktionen vor ohne auf deren Bedeutung einzugehen. Beim Bearbeiten der dynamischen Arbeitsblättern von Markus Hohenwarter entdecken die Schüler den Zusammenhang zwischen Ableitungsfunktion und Tangentensteigung.
  • Die Schüler bestimmen die Ableitungsfunktion als Funktion zur Ortskurve der Tangentensteigungen. Hierbei wiederholen sie, wie man zu einer Geraden (Parabel ) eine lineare (quadratische) Funktion bestimmt. Die Ableitungsregeln werden erst später eingeführt.

Zum Betrachten der Arbeitsblätter benötigen Sie Java 1.4 oder höher sowie das Programm GeoGebra. (Kostenlos unter    www.geogebra.at erhältlich. Der erste Start der dynamischen Arbeitsblätter kann etwas dauern.)


Lernvideo: Punkt-Steigungsform der Tangenten- und Normalengleichung

Vorschau

Die Punkt-Steigungsform der Tangenten- und Normalengleichung steht in jeder Formelsammlung. Die Darstellung kann leicht durch Verschiebung einer Ursprungsgeraden hergeleitet werden.
In einem Lernvideo wird dies vorgeführt. Den Film und die dabei gezeigten Animationen finden Sie unter dem nachfolgenden Link.

 Zum Lernvideo zur Punkt-Steigungs-Form von Tangenten und Normalen


Informationen aus dem Schaubild der Ableitungsfunktion

Screenshot der Animation

Die hier vorgestellte Geogebra-Animation verdeutlicht den Zusammenhang zwischen Ableitungsfunktion und zugehöriger Stammfunktion.

Kurzbeschreibung:

  • Bei angezeigter Stammfunktion erkennen sie, dass sich alle Funktionen mit gleicher Ableitungsfunktion nur durch einen konstanten Summanden unterscheiden.
  • Auch das Schaubild der Ableitungsfunktion kann mit einem Schieberegler in y-Richtung verschoben werden. Hierbei werden die Veränderungen bei der angezeigten Stammfunktion augenblicklich angezeigt.
  • Mit Hilfe der Animation lassen sich das notwendige und das (erste) hinreichende Kriterium für Extremstellen sehr schön veranschaulichen. Darüber hinaus erkennen sie einen Zusammenhang zwischen den Extremstellen der Ableitungsfunktion und den Wendestellen der Stammfunktion.
  • Aufgaben ermöglichen einen experimentellen Zugang zum Thema und sichern den Lernerfolg.

Auch hier benötigen Sie zur Anzeige Java 1.4 oder höher.


Informationen aus dem Schaubild der zweiten Ableitungsfunktion

Screenshot der Animation

Ähnlich wie die obige Animation verdeutlicht diese Geogebra-Animation den Zusammenhang zwischen der zweiten Ableitungsfunktion und einer zugehörigen Stammfunktion.

Kurzbeschreibung:

  • Bei angezeigter Stammfunktion lässt sich erschließen, dass sich alle Funktionen mit gleicher zweiter Ableitung höchstens durch einen linearen und/oder konstanten Summanden unterscheiden.
  • Wiederum lässt sich das Schaubild der Ableitungsfunktion mit einem Schieberegler in y-Richtung verschieben. Hierbei werden die Veränderungen bei der angezeigten Stammfunktion augenblicklich angezeigt.
  • Mit Hilfe der Animation lässt sich der Krümmumgsbegriff sehr schön darstellen. Ebenso finden sie Kriterien für Extrem- und Wendestellen.
  • Aufgaben ermöglichen einen experimentellen Zugang zum Thema und sichern den Lernerfolg.

Auch hier benötigen Sie zur Anzeige Java 1.4 oder höher.


Kurvendiskussion

Besondere Punkte im Schaubild (charakteristische Punkte)

Das Schülerarbeitsblatt fordert eine verbale Beschreibung des Verlaufs eines Schaubildes. Hierbei werden die Begriffe Hoch- und Tiefpunkt, Schnittpunkte mit Koordinatenachse sowie Monotonie angewandt. Die Aufgabe eignet sich als Vorübung zur Kurvendiskussion. Ein Lösungsverschlag ist als pdf-Dokument beigefügt.
Zur Weiterbearbeitung lassen sich auch die Word-Quell-Dokumente in einem zip-file herunterladen.

Schüler-AB als pdf-file
Schüler-AB mit Lösungsvorschlag als pdf-file
Word-Quelldateien als zip-file 

Hinreichende Bedingung für Extrempunkte mithilfe der 2. Ableitung

Existieren zu einer Funktion an einer Stelle die erste und zweite Ableitung, so lassen sich mit Hilfe dieser beiden Ableitungen die Extremstellen relativ leicht aufspüren. Die Vorgehensweise wird hier in einem YouTube-Video vorgestellt und anschaulich bewiesen.

Externer Link zum Video    Hinreichende Bedingung für Extremstellen mit der 2. Ableitung

Vollständige Kurvendiskussion

Die komplette Untersuchung einer (geeigneten, differenzierbaren) Funktion führt zur "klassischen" Aufgabenstellung der Kurvendiskussion, zu der verschiedene Arbeitsmaterialien als pdf-Dokumente und zur Weiterbearbeitung als gezippte Wordfiles zum download zur Verfügung stehen.

Das Newton-Verfahren

Bei der Kurvendiskussion führen die notwendigen Bedingungen für Extremstellen und Wendestellen auf die Problematik der Nullstellenbestimmung. Da es nicht für alle Gleichungstypen Lösungsformeln gibt, ist es ohne Taschenrechner unter Umständen sinnvoll, die Newton-Formel für die Nullstellenbestimmung zu verwenden. Wenn auch in Zeiten von GTR und CAS veraltet, so liefert sie uns noch immer eine gute Möglichkeit, unser Wissen über die Differenzialrechnung zu vertiefen. Weitere Informationen, Fragestellungen, ein Arbeitsblatt und eine Animation zum Prinzip des Newton-Verfahrens finden Sie hier:


"Tangenten-Probleme" in der Oberstufe

Zusammenfassung der Problemstellungen mit möglichen Lösungswegen

Sehr viele Abituraufgaben laufen darauf hinaus, dass eine Tangente an ein Schaubild in der Form bestimmt werden muss, dass sie einen beliebigen, gegebenen Punkt P "trifft". Hierbei ist der Berührpunkt zwischen Tangente und Schaubild nicht in jedem Fall bekannt. Der beliebige Punkt P kann je nach Aufgabenstellung auf dem Schaubild liegen oder daneben.

Wir beschreiben drei Verfahren, nach denen sich diese Aufgabentypen gelösen lassen.

Tangentenprobleme in der gymn. Oberstufe als OpenOffice-Datei   Download  
Dokument als PDF  Download  

Übungsaufgabe mit Lernvideo und Animation "Modellieren mit Tangenten"

Vorschau

Eine Gemeinde möchte eine Straße neu planen. Hierbei sind bestimmte Vorgaben zu beachten. Mathematisch lässt sich das Problem mit einer Tangentengleichung lösen - allerdings ist der Tangentenberührpunkt nicht gegeben (Tangentenproblem 2).
Im Lernvideo wird ein Lösungsweg ausführlich beschrieben. Zudem wird mit einer anspruchsvollen Zusatzfrage versucht, das Funktionsverständnis zu stärken.

   Lernvideo und Animation zur Modellierung mit Tangenten

Weitere Übungsaufgabe zur Modellierung mit Tangenten

Am Beispiel einer Abituraufgabe werden die drei möglichen Lösungsverfahren beim zweiten Tangentenproblem angewandt (vgl. obiges Dokument).


Abituraufgabe (Auszug) mit ausführlicher Lösung als OpenOffice-Datei  Download  
Dokument als PDF   Download  


Bestimmung von Funktionen mit besonderen Eigenschaften (Steckbriefaufgaben)

Lässt sich ein Funktionsterm aus geforderten Eigenschaften "reproduzieren". Wie geht man dabei vor?
In der umfangreichen Lernumgebung des LBS NRW finden sie neben Begriffserklärungen auch diverse Anwendungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen u. a. aus den Bereichen Wirtschaft, Biologie, Medizin und Physik.
Für die Lösung der Übungsaufgaben benötigen Sie zum Teil ein CAS-Programm (z. B. Derive oder Maple). Natürlich lassen sich diese Rechnungen auch mit einem CAS-fähigen Taschenrechner durchführen.

Externer Link zur Lernumgebung    Differenzialrechnung: Bestimmung von Funktionsgleichungen.


Materialien zum Thema Funktionenschar (Parameterfunktion)

Bestimmung der Gesamtheit aller Tangenten an das Schaubild einer vorgegebenen Funktion (am Beispiel der Sinusfunktion).

Diese Standardaufgabe wird mit Hilfe von ausführlichen Vorüberlegungen schrittweise gelöst. Eine Animation verdeutlicht die Wirkung des Scharparameters, wobei der Funktiosterm beliebig abgeändert werden kann.

Zur Aufgabe    Parameterfunktion zur Sinuskurve


Funktionenschar mit e-Funktion - Bestimmung der Ortskurve der Wendepunkte

Die Aufgabe des folgenden Arbeitsblattes dient der Vorbereitung auf das Abitur.  Am Beispiel mit der e-Funktion werden Aufgabenstellungen zu Funktionenscharen wiederholt. Neben Tipps und Hinweisen sind die zentralen Lösungen zur Ergebniskontrolle auf dem Aufgabenblatt angegeben. Eine Animation der Kurvenschar mit optionaler Anzeige der Ortskurve finden Sie    hier (lila Kure).

Aufgabe mit Lösungshinweisen als OpenOffice-Datei  Download  
Dokument als PDF   Download  

Differenzialgleichungen bei exponentiellem und beschränktem Wachstum

Eine Differenzialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, bei der eine (gesuchte) Funktion und deren Ableitungsfunktion auftreten. Im Gegensatz zu "normalen" Gleichungen wird eine DGL durch Funktionen gelöst. Beim exponentiellen Wachstum findet man die gesuchte Bestandsfunktion recht einfach durch Aufleiten. Beim beschränkten Wachstum benutzt man die Technik der Substitution. Wie das bei Funktionen funktioniert sehen Sie im folgenden Dokument, das sowohl im OpenOffice, als auch im PDF-Format vorliegt.


Differenzialgleichungen bei exp. und beschr. Wachstum als OpenOffice-Datei  Download  
Dokument als PDF   Download  


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Zuletzt geändert am 5.11.2012
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Von der Sekante zur Tangente
Dynamische Arbeitsblätter: Vom Schaubild zur Kurve der Ableitungsfunktion
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Animation: Informationen aus dem Schaubild der zweiten Ableitungsfunktion
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Tangentenprobleme in der Sekundarstufe 2 mit ausführlicher Lösung einer entsprechenden Abitursaufgabe
Animation: Extremwertproblem - Standardaufgabe mit Möglichkeit zur Binnendifferenzierung.
Lernumgebung: Bestimmung von Funktionen mit besonderen Eigenschaften (Steckbriefaufgaben)
Funktionenscharen - Parameterkurve beschreibe Gesamtheit aller Tangenten
Funktionenscharen - Ableiten mit Parametern, Ortskurven von Extrem- und Wendepunkten
Funktionenschar mit e-Funktion - Bestimmung Ortskurve der Wendepunkte
Animation: Ortskurve der Extrem- und Wendepunkte bei Funktionenscharen
Animation: Newton-Verfahren und weitere Informationen
Animation: Kettenregel - Wie gelangt man zur Ableitungsformel?
Differenzialgleichungen des exponentiellen und beschränkten Wachstums
Mögl. Einführungen der eulerschen Zahl e
Lernvideos: Grundlagen und Anwendungen des natürlichen Logarithmus
Unterrichtsmodule des LMZ (Landesmedienzentrum)
Gruppenarbeit zur Berechnung der Änderungsrate einer Funktion
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