Differenzialrechnung
Von der Sekante zur Tangente
Wir wollen eine Tangente in einem Kurvenpunkt an das Schaubild einer Funktion legen. Dieses Problem kann - wie aus der Geometrie der Mittelstufe bekannt - als Suche nach der Grenzlage von Sekanten aufgefasst werden.
Die folgende Animation veranschaulicht die Vorgehensweise: die
Sekantensteigung wird hierbei durch den Differenzenquotienten mit der
h-Methode dargestellt. Mit einem Rechtsklick auf das Schaubild der Funktion,
kann diese diese "umdefiniert" werden. 
Animation:
Von der Sekante zur Tangenten).
Die Annäherung einer Sekantenfolge an eine Tangente (Grenzlage) lässt
sich rechnerisch (zuerst für eine ganzrationale Funktion) nachvollziehen.
Somit gelangt man zum Begriff der Steigung einer gekrümmten Funktionskurve
und spricht im Folgenden von der "ersten Ableitung" einer Funktion.
Von der Funktion zur Ableitungsfunktion
Die folgenden dynamischen Arbeitsblätter von Markus Hohenwarter verdeutlichen mit Hilfe von GeoGebra-Animationen den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion. Beim ersten Blatt wird eine quadratische Funktion vorgestellt, beim zweiten Blatt handelt es sich um eine ganzrationale Funktion vom Grad 3. Beim dritten Arbeitsblatt können die Schüler die notwendige Bedingung für Extremstellen experimentell entdecken.
Einsatzmöglichkeiten:
- Nachdem der Ableitungsbegriff eingeführt wurde, haben die Schüler bereits die Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen kennen gelernt. In diesem Fall wird anhand der Arbeitsblätter der Zusammenhang zwischen Tangentensteigung und den Funktionswerten der Ableitungsfunktion wiederholt.
- Die Schüler kennen den Ableitungsbegriff als Steigung der Tangenten. Der Lehrer gibt die Ableitunsregel für ganzrationale Funktionen vor ohne auf deren Bedeutung einzugehen. Beim Bearbeiten der dynamischen Arbeitsblättern von Markus Hohenwarter entdecken die Schüler den Zusammenhang zwischen Ableitungsfunktion und Tangentensteigung.
- Die Schüler bestimmen die Ableitungsfunktion als Funktion zur Ortskurve
der Tangentensteigungen. Hierbei wiederholen sie, wie man zu einer Geraden
(Parabel ) eine lineare (quadratische) Funktion bestimmt. Die
Ableitungsregeln werden erst später eingeführt.
Zum Betrachten der Arbeitsblätter benötigen Sie Java 1.4 oder höher sowie
das Programm GeoGebra. (Kostenlos unter 
www.geogebra.at erhältlich. Der erste Start der
dynamischen Arbeitsblätter kann etwas dauern.)
Informationen aus dem Schaubild der
Ableitungsfunktion
Die hier vorgestellte Geogebra-Animation verdeutlicht den Zusammenhang zwischen Ableitungsfunktion und zugehöriger Stammfunktion.
Kurzbeschreibung:
- Bei angezeigter Stammfunktion erkennen sie, dass sich alle Funktionen mit gleicher Ableitungsfunktion nur durch einen konstanten Summanden unterscheiden.
- Auch das Schaubild der Ableitungsfunktion kann mit einem Schieberegler in y-Richtung verschoben werden. Hierbei werden die Veränderungen bei der angezeigten Stammfunktion augenblicklich angezeigt.
- Mit Hilfe der Animation lassen sich das notwendige und das (erste) hinreichende Kriterium für Extremstellen sehr schön veranschaulichen. Darüber hinaus erkennen sie einen Zusammenhang zwischen den Extremstellen der Ableitungsfunktion und den Wendestellen der Stammfunktion.
- Aufgaben ermöglichen einen experimentellen Zugang zum Thema und sichern den Lernerfolg.
Auch hier benötigen Sie zur Anzeige Java 1.4 oder höher.
Informationen aus dem Schaubild der zweiten
Ableitungsfunktion
Ähnlich wie die obige Animation verdeutlicht diese Geogebra-Animation den Zusammenhang zwischen der zweiten Ableitungsfunktion und einer zugehörigen Stammfunktion.
Kurzbeschreibung:
- Bei angezeigter Stammfunktion lässt sich erschließen, dass sich alle Funktionen mit gleicher zweiter Ableitung höchstens durch einen linearen und/oder konstanten Summanden unterscheiden.
- Wiederum lässt sich das Schaubild der Ableitungsfunktion mit einem Schieberegler in y-Richtung verschieben. Hierbei werden die Veränderungen bei der angezeigten Stammfunktion augenblicklich angezeigt.
- Mit Hilfe der Animation lässt sich der Krümmumgsbegriff sehr schön darstellen. Ebenso finden sie Kriterien für Extrem- und Wendestellen.
- Aufgaben ermöglichen einen experimentellen Zugang zum Thema und sichern den Lernerfolg.
Auch hier benötigen Sie zur Anzeige Java 1.4 oder höher.
Kurvendiskussion
Besondere Punkte im Schaubild (charakteristische Punkte)
Das Schülerarbeitsblatt fordert eine verbale Beschreibung des Verlaufs
eines Schaubildes. Hierbei werden die Begriffe Hoch- und Tiefpunkt,
Schnittpunkte mit Koordinatenachse sowie Monotonie angewandt. Die Aufgabe
eignet sich als Vorübung zur Kurvendiskussion. Ein Lösungsverschlag ist als
pdf-Dokument beigefügt.
Zur Weiterbearbeitung lassen sich auch die Word-Quell-Dokumente in einem
zip-file herunterladen.
Schüler-AB als pdf-file
Schüler-AB mit
Lösungsvorschlag als pdf-file
Word-Quelldateien als
zip-file 
Hinreichende Bedingung für Extrempunkte mithilfe des Vorzeichenwechsels der ersten Ableitung
Zum Nachweis eines Extrempunktes genügt es nicht zu zeigen, dass das an der betreffenden Stelle die erste Ableitung null ergibt. Stattdessen muss man nachweisen, dass die erste Ableitung an dieser Stelle auch das Vorzeichen wechselt. Im folgenden YouTube-Video wird die Vorgehensweise dargestellt und anschaulich begründet. Darüber hinaus wird gezeigt, dass bei einer Nullstelle der Ableitungsfunktion ohne Vorzeichenwechsel ein Sattelfunktion bei der zugehörigen Stammfunktin vorliegen muss.Externer Link zum Video Hinreichende Bedingung für Extremstellen mithilfe des
VZ-Wechsels der 1. Ableitung.
Hinreichende Bedingung für Extrempunkte mithilfe der 2. Ableitung
Existieren zu einer Funktion an einer Stelle die erste und zweite Ableitung, so lassen sich mit Hilfe dieser beiden Ableitungen die Extremstellen relativ leicht aufspüren. Die Vorgehensweise wird hier in einem YouTube-Video vorgestellt und anschaulich bewiesen.
Externer Link zum Video Hinreichende Bedingung für Extremstellen mit der 2.
Ableitung
Vollständige Kurvendiskussion
Die komplette Untersuchung einer (geeigneten, differenzierbaren) Funktion
führt zur "klassischen" Aufgabenstellung der Kurvendiskussion, zu der
verschiedene Arbeitsmaterialien als pdf-Dokumente und zur Weiterbearbeitung
als gezippte Wordfiles zum download zur Verfügung stehen.
Das Newton-Verfahren
Bei der Kurvendiskussion führen die notwendigen Bedingungen für Extremstellen und Wendestellen auf die Problematik der Nullstellenbestimmung. Da es nicht für alle Gleichungstypen Lösungsformeln gibt, ist es ohne Taschenrechner unter Umständen sinnvoll, die Newton-Formel für die Nullstellenbestimmung zu verwenden. Wenn auch in Zeiten von GTR und CAS veraltet, so liefert sie uns noch immer eine gute Möglichkeit, unser Wissen über die Differenzialrechnung zu vertiefen. Weitere Informationen, Fragestellungen, ein Arbeitsblatt und eine Animation zum Prinzip des Newton-Verfahrens finden Sie hier:
"Tangenten-Probleme" in der Oberstufe
Sehr viele Abituraufgaben laufen darauf hinaus, dass eine Tangente an ein
Schaubild in der Form bestimmt werden muss, dass sie einen beliebigen,
gegebenen Punkt P "trifft". Hierbei ist der Berührpunkt zwischen Tangente
und Schaubild nicht in jedem Fall bekannt. Der beliebige Punkt P kann je
nach Aufgabenstellung auf dem Schaubild liegen oder daneben.
Wir beschreiben drei Verfahren, nach denen sich diese Aufgabentypen
gelösen lassen.
Tangentenprobleme in der gymn. Oberstufe als
OpenOffice-Datei Download 
Dokument als PDF Download
Am Beispiel einer Abituraufgabe von 2004 werden die drei im
obigen Dokument beschriebenen Verfahren angewandt.
Abituraufgabe (Auszug) mit ausführlicher Lösung als
OpenOffice-Datei Download
Dokument als PDF Download
Bestimmung von Funktionen mit besonderen Eigenschaften (Steckbriefaufgaben)
Lässt sich ein Funktionsterm aus geforderten Eigenschaften
"reproduzieren". Wie geht man dabei vor?
In der umfangreichen Lernumgebung des LBS NRW finden sie neben
Begriffserklärungen auch diverse Anwendungsaufgaben mit ausführlichen
Lösungen u. a. aus den Bereichen Wirtschaft, Biologie, Medizin und
Physik.
Für die Lösung der Übungsaufgaben benötigen Sie zum Teil ein CAS-Programm
(z. B. Derive oder Maple). Natürlich lassen sich diese Rechnungen auch mit
einem CAS-fähigen Taschenrechner durchführen.
Externer Link zur Lernumgebung Differenzialrechnung: Bestimmung von
Funktionsgleichungen.
Materialien zum Thema Funktionenschar (Parameterfunktion)
Bestimmung der Gesamtheit aller Tangenten an das Schaubild einer vorgegebenen Funktion (am Beispiel der Sinusfunktion).
Diese Standardaufgabe wird mit Hilfe von ausführlichen Vorüberlegungen schrittweise gelöst. Eine Animation verdeutlicht die Wirkung des Scharparameters, wobei der Funktiosterm beliebig abgeändert werden kann.
Zur Aufgabe Parameterfunktion zur
Sinuskurve
Funktionenschar mit e-Funktion - Bestimmung der Ortskurve der Wendepunkte
Die Aufgabe des folgenden Arbeitsblattes dient der Vorbereitung auf das
Abitur. Am Beispiel mit der e-Funktion werden Aufgabenstellungen zu
Funktionenscharen wiederholt. Neben Tipps und Hinweisen sind die zentralen
Lösungen zur Ergebniskontrolle auf dem Aufgabenblatt angegeben. Eine
Animation der Kurvenschar mit optionaler Anzeige der Ortskurve finden Sie
hier (lila Kure).
Differenzialgleichungen bei exponentiellem und beschränktem Wachstum
Eine Differenzialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, bei der eine
(gesuchte) Funktion und deren Ableitungsfunktion auftreten. Im Gegensatz zu
"normalen" Gleichungen wird eine DGL durch Funktionen gelöst. Beim
exponentiellen Wachstum findet man die gesuchte Bestandsfunktion recht
einfach durch Aufleiten. Beim beschränkten Wachstum benutzt man die Technik
der Substitution. Wie das bei Funktionen funktioniert sehen Sie im folgenden
Dokument, das sowohl im OpenOffice, als auch im PDF-Format vorliegt.
Differenzialgleichungen bei exp. und beschr. Wachstum als
OpenOffice-Datei Download
Dokument als PDF Download
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