Die Kettenregel

Damit Sie die folgende Herleitung der Kettenregel verstehen, benötigen Sie folgendes Vorwissen:

• Die Definition der Ableitung über den Grenzwert des Differenzenquotienten (mit der h-Methode).
• Kenntnis von Funktionsverkettungen und die Entstehung des zugehörigen Schaubildes.

Tipp:

Mit einem CAS-Taschenrechner können zunächst verschiedene Funktionsverkettungen gebildet werden. Da diese Rechner auch die Ableitungsfunktion bilden können, gelangt man bereits nach wenigen Beispielen zu einer Vermutung, wie die Ableitungsfunktion mit der inneren und äußeren Funktion zusammen hängt. Beachten Sie, dass durch Vertauschung von innerer und äußerer Funktion eine völlig andere Funktion gebildet wird.

Beantworte folgemde Aufgaben schriftlich:

1. Wie entstehen die beiden Punkte P_x und P_x+h? Klicken Sie hierzu auf "Animation ein" und erklären Sie die Bedeutung der Pfeile. Verändern Sie mit den Schiebereglern auch die Werte für x und h.
2. Stellen Sie den Differenzenquotienten für die verkettete Funktion f(x)=u(v(x)) mit der h-Methode auf.
3. Wie sieht der Differenzenquotient der inneren (roten) Funktion v(x) aus?
   
4. Drücken Sie die blauen x-Werte mit Hilfe der roten Funktion und den entsprechenden x-Werten aus. Stellen Sie mit diesen Ausdrücken den Differenzenquotienten für die äußere (blaue) Funktion u(v) auf.
5. Beachten Sie, dass die blauen y-Werte für u(v) den (grünen) y-Werten von P_x und P_x+h entsprechen.
   Ebenso entsprechen die y-Werte der inneren (roten) Funktion den x-Werten der äußeren (blauen) Funktion.
   Damit lässt sich der Differenzenquotient von der verketteten Funktion mit den Differenzenquotienten der inneren und äußeren Funktionen ausdrücken. Betrachten Sie hierzu die Differenzenquotienten der innerern und äußeren Funktion (3.+4.) sowie den Differenzenquotienten der verketteten Funktion (2.).
6. Warum benötigt man für die Kettenregel als Voraussetzung die Differenzierbarkeit der beiden inneren Funktionen? Wie äußert sich das in den Schaubildern.

Hinweis:

Mit einem Rechtsklick auf die Schaubilder können die zugehörigen Funktion verändert werden. Spielen Sie damit herum. Sie verschaffen sich auf diese Weise ein erweitertes Verständnis von Funktionen und den zugehörigen Schaubildern.

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