Landesbildungsserver Baden-Württemberg - Das Newton-Verfahren
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Das Newton-Verfahren

In der Differenzialrechnung spielt die Nullstellenbestimmung von Funktionen eine große Rolle. Denken wir dabei z. B. an die notwendigen Bedingungen für Extrem- und Wendestellen.
Mit einem grafikfähigen Taschenrechner (GTR) oder einem Computer-Algbra-System (CAS) ist diese Nullstellenbestimmung mittlerweile kein Problem mehr. Allerdings gab es noch vor 30 Jahren kaum leistungsfähige Taschenrechner. Hier war Kopfrechnen angesagt. Es stellt sich die Frage:

Wie finden wir Nullstellen ohne technische Hilfsmittel?

Im einfachsten Fall gelingt (evtl. durch Ausklammern) eine Produktdarstellung des Funktionsterms, so dass aus f(x)=0 der Typ Faktor 1 * Faktor 2 = 0 entsteht. Die Nullstellen können hierbei über die Nullstellen der Faktoren gefunden werden.

Bei quadratischen Funktionen gibt es für die Nullstellenfindung die Mitternachtsformel (bzw. p-q-Formel).

Leider gibt es auch Funktionen, für deren Nullstellenbestimmung uns kein Rechenwerkzeug zur Verfügung steht. Bei differenzierbaren Funktionen hilft uns eine kleine Formel von Isaak Newton, schrittweise zu einem Näherungswert für eine Nullstelle zu gelangen:

Newton-Formel

Im folgenden Dokument werden stichwortartig zwei Begründungen für diese Formel geliefert. Die erste Begründung benutzt die Tangentengleichung in der Punkt-Steigungsform, die andere die Definition der Geradensteigung am Steigungsdreieck.

Dokument-Download als OpenOffice- und als PDF-Datei:

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Eine Animation zum Newton-Verfahren

Die folgende Animation ermöglicht es, die ersten drei Näherungswerte für eine beliebige Funktion zusammen mit dem Schaubild und den entsprechenden Tangenten anzuzeigen. Bei der ersten Tangenten ist das Steigungsdreieck sichtbar, mit dem sich die obige Formel erklären lässt.

Für die Anzeige der Animation benötigen Sie Java. Daher kann der erste Aufruf etwas dauern.    Zur Animation

Animationsvorschau

Zuletzt geändert am 18.2.2011
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Animation: Von der Sekante zur Tangente
Von der Sekante zur Tangente
Dynamische Arbeitsblätter: Vom Schaubild zur Kurve der Ableitungsfunktion
Lernvideo mit Animationen: Punkt-Steigungs-Form der Tangenten- und Normalengleichung
Animation: Informationen aus dem Schaubild der Ableitungsfunktion
Animation: Informationen aus dem Schaubild der zweiten Ableitungsfunktion
Kurvendiskussion
Hinr.Kriterium für Extremstellen mithilfe der 2.Ableitung
Tangentenprobleme in der Sekundarstufe 2 mit ausführlicher Lösung einer entsprechenden Abitursaufgabe
Animation: Extremwertproblem - Standardaufgabe mit Möglichkeit zur Binnendifferenzierung.
Lernumgebung: Bestimmung von Funktionen mit besonderen Eigenschaften (Steckbriefaufgaben)
Funktionenscharen - Parameterkurve beschreibe Gesamtheit aller Tangenten
Funktionenscharen - Ableiten mit Parametern, Ortskurven von Extrem- und Wendepunkten
Funktionenschar mit e-Funktion - Bestimmung Ortskurve der Wendepunkte
Animation: Ortskurve der Extrem- und Wendepunkte bei Funktionenscharen
Animation: Newton-Verfahren und weitere Informationen
Animation: Kettenregel - Wie gelangt man zur Ableitungsformel?
Differenzialgleichungen des exponentiellen und beschränkten Wachstums
Mögl. Einführungen der eulerschen Zahl e
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Gruppenarbeit zur Berechnung der Änderungsrate einer Funktion
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