Rotationskörper
Mit der nachfolgenden Animation können Sie selbstständig die Formel für
das Volumenintegral bei Rotationskörpern herleiten.
Vorwissen:
- Sie kennen bereits die Herleitung des Integrals über Zerlegungssummen.
Unabhängig davon ob man als Näherung die Ober- Untersumme oder Summen mit
Mittelwerten verwendet, erhält man bei hinreichend großen Zerlegungen
beliebig exakte Werte für das Integral.
- Sie wissen, dass der Ausdruck dx im Integral für die (unendlich kleine)
Zerlegungsbreite steht.
- Sie wissen, dass die Formel für das Volumen eines Zylinders V=pi * r² *
h lautet.
Zur Animation:
- Für die Animation benötigen Sie auf Ihrem Rechner Java 1.4 oder höher
- Der erste Start kann etwas dauern.
- Die Animation lässt sich mit einem Klick auf das hellblaue Pfeilsymbol in den Anfangszustand zurückversetzen.
- Mit den Schiebereglern lassen sich die rechte Intervallgrenze sowie die Steigung der Geraden verändern. (Beim Setzen der Haken erscheinen weitere Schieberegler.)"
Aufgaben:
- Machen Sie sich anhand der Animation klar, wie man die (Volumen-)Integralformel für Rotationskörper durch Nährung mit Zylinderscheiben erhält. Beachten Sie, dass man konstante Faktoren aus dem Integral herausziehen darf (Distributivgesetz).
- Berechnen Sie das Integral von 0 bis 6 des Rotationskörpers zur Ursprungsgeraden der Funktion f(x)= 0,5 x.
- Welche Form hat der in der obigen Aufgabe beschriebene
Rotationskörper?
Welchen Grundflächenradius und welche Höhe besitzt er? Bestimmen Sie zur Kontrolle das Volumen mit Hilfe der entsprechenden Volumenformel (ohne Integralrechnung).
