- Beweise in der Sekundarstufe 2
Skip to content

Beweise in der Sekundarstufe 2

Vollständige Induktion

Dieses Beweisverfahren bietet sich bei mathematischen Behauptungen an, die für beliebige natürliche (oder ganze) Zahlen gelten sollen. In der Schulmathematik handelt es sich in der Regel um folgende "Einsatzgebiete":

  • explizite Darstellungen für rekursiv definierte Folgen.
  • allgemeine Darstellungen von endlichen Summen.
  • allgemeine Darstellungen von n-fachen Ableitungen.
  • kombinatorische Problemstellungen.

Das Prinzip der vollständigen Induktion beruht auf einem ganz einfachen Verfahren. Bei Beweisen mit vollständiger Induktion kommt es neben der Beweistechnik auf die Beherrschung der grundlegenden Rechenregeln an.

   Zum Beweisverfahren der vollständigen Induktion mit mehreren Beispielen und Tricks

Beweise mit Vektoren

a) Definition der linearen Unabhängigkeit für den Nachweis,

  • dass sich zwei Geraden in genau einem Punkt schneiden.

  • dass ein Punkt eine Strecke in einem bestimmten Verhältnis teilt.

Das Verfahren wird hier für Beweise der ebenen Geometrie beschrieben. Es funktioniert in analoger Weise auch im dreidimensionalen Raum.

   Zum Vektorbeweis mit linearerer Unabhängigkeit


b) Definition der linearen Abhängigkeit für den Nachweis,

  • dass zwei Geraden/Strecken parallel sind.

  • dass die Längen von zwei parallelen Strecken in einem bestimmten Verhältnis stehen.

   Zum Vektorbeweis mit linearer Abhängigkeit

c) Definition des Skalarproduktes für den Nachweis,

  • dass zwei Geraden/Strecken orthogonal liegen.

Mit dem    Skalarprodukt besitzen wir ein einfaches Werkzeug zur Winkelbestimmung. Gelegentlich ist es möglich, ein geeignetes rechtwinkliges (!) Koordinatensystem einzuführen, so dass die Berechnung des Skalarproduktes elegant durchgeführt werden kann.
Für Interessierte bieten wir zusätzlich ein Dokument, bei dem der Zusammenhang zwischen Schwerpunkt, Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt beim Dreieck mit dem Skalarprodukt bewiesen wird.

   Zum Beweisen mit Skalarprodukt über Koordinaten

In anderen Fällen gelingt der Nachweis eines rechten Winkels auch ohne Koordinaten. Hier werden die    Rechenregeln beim Skalarprodukt ausgenutzt. Wenn zwei erzeugende Vektoren die gleiche Länge besitzten, lässt sich elegant die 3. binomische Formel ins Spiel bringen (-> Beispiel 1 auf der folgenden Seite). Als weiteres Beispiel zeigen wir, wie der Satz des Pythagoras praktisch in einer Zeile mit dem Skalarprodukt bewiesen werden kann. Auch hier taucht eine binomische Formel auf.

   Zum Beweisen mit Skalarprodukt ohne Koordinaten

   Zum Seitenanfang

Von diesem Server wird auf zahlreiche Seiten anderer Anbieter verwiesen, für die wir nicht verantwortlich sind und nicht haften.