Landesbildungsserver Baden-Württemberg - Vektorbeweis mit linearer Unabhängigkeit
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Vektorbeweis mit linearer Unabhängigkeit

Mit Vektoren lassen sich geometrische Zusammenhänge elegant beweisen. Beispielsweise lässt sich die Definition der linearen Unabhängigkeit von Vektoren ausnutzen.

Das Verfahren wird hier für Beweise der ebenen Geometrie beschrieben. Es funktioniert aber auch in analoger Weise im dreidimensionalen Raum.

Schritt 1:  Führe geeignete, linear unabhängige Basisvektoren ein, mit denen sich die Elemente der Figur beschreiben lassen.

Schritt 2: Suche für den Weg zwischen zwei Punkten zwei Streckenzüge und stelle sie durch Linarkombinationen der beiden Vektoren dar. Hierbei werden bei den Streckenzügen variable Streckfaktoren eingesetzt.

Schritt 3: Wir subtrahieren beide Vektorgleichungen, so dass auf der einen Seite der Gleichung null (der Nullvektor) steht. So ergibt sich eine so genannte geschlossene Vektorkette (auch geschlossener Vektorzug.

Schritt 4: Da die Basisvektoren linear unabhängig sind, lässt sich der Nullvektor nur durch die triviale Linarkombination darstellen, d. h. die Faktoren bei den Vektoren müssen null sein. Dies liefert zwei Bestimmungsgleichungen für die oben eingesetzten variablen Streckfaktoren.

Schritt 5: Wenn dieses Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, ist der Nachweis des Schnittpunktes erbracht. Aus den Werten der Streckfaktoren kann nun das Teilungsverhältnis bestimmt werden. (Beispielsweise liegen bei einem Streckfaktor 2/3 zwei Teile von drei auf der Seite des Streckzentrums. Das Teilungsverhältnis beträgt in diesem Fall 2:1.)


Beispiele "Teilverhältnisse mit linearer Unabhängigkeit bestimmen".:

Im Folgenden werden zwei Arbeitsblätter mit Lösungen sowie eine Beweisanimation mit ausführlicher Lösung vorgestellt. Bei den Arbeitsblättern sind die Beweise teilweise beschrieben und müssen vervollständigt werden. Darüber hinaus sollen Bemerkungen die Vorgehensweise vertiefen. Das dritte Beispiel behandelt eine Standardaufgabe. Die zugehörige Animation verdeutlicht die Funktion der Streckfaktoren.

Beispiel 1: "Teilverhältnisse im Viereck"

Bei dieser Aufgabe muss zunächst ein Viereck aus einer gegebenen Linearkombination konstruiert werden. Eine mögliche Konstruktion ist im Arbeitsblatt bereits vorgegeben. Es wird ebenfalls beschrieben, man zu einem geschlossenen Vektorzug gelangt. Einzelne Lücken müssen jedoch geschlossen werden.
In den Feldern am rechten Rand bleibt Platz für Bemerkungen zur Vorgehensweise bei der Beweisführung.

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Beispiel 2: "Teilverhältnisse im Dreieck"

Diese Aufgabe enthält zwei Besonderheiten: zum einen führt sie auf ein nicht lineares Gleichungssystem, deren Lösung aber keine Probleme bereiten sollte. Weiter muss der geschlossene Vektorzug die Punkte D und E enthalten, da sonst kein Teilungsverhältnis bestimmt werden kann. (Der Punkt E ist bei diesem Lösungsvorschlag im Vektor von A nach E enthalten.)
Die Beweiführung lässt sich abgewandelt sehr schön noch einmal mit anderen Basisvektoren durchführen.

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Beispiel 3: "der Schwerpunktsatz im Dreieck"

Beweise: Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks treffen sich im Schwerpunkt S. Dieser teilt sie im Verhältnis 2:1.

Unter der Animation finden Sie im OpenOffice- und im PDF-Format eine Zusammenfassung der Vorgehensweise beim Beweisen von Teilverhältnissen mit linearer Unabhängigkeit. Der ausführliche Beweis des Schwerpunktsatzes befindet sich ebenfalls in diesem Dokument.

Hinweise zur Animation:

  • Bei der GeoGebra-Animation lassen sich die Streckfaktoren (x und y) mit den Schiebereglern variiern. Auf diese Weise kann die Strecke AS auf zwei verschiedene Weisen durch die Vektoren a und c dargestellt werden.
  • Mit dem hellblauen Pfeilsymbol oben rechts auf dem Zeichenblatt lässt sich die Konstruktion zurück setzten.
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Zuletzt geändert am 19.11.2010
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