Vektoren und lineare Unabhängikeit
Vektoren
Vektoren spielen nicht nur in der Physik eine große Rolle. Bei linearen Gleichungssystemen treten sie beispielsweise als Lösungsvektor in Erscheinung. In der analytischen Geometrie lassen sich mit Vektoren Geraden und Ebenen beschreiben, sowie deren gegenseitige Lage untersuchen.
Bevor man auf diesem Gebiet einsteigt, sollte man sich die Zeit nehmen
und sich mit den Grundbegriffen der Vektorrechnung auseinander setzten. In
diesem Zusammenhang sei auf die sehr übersichtlich und verständlich
gestalteten Seiten von 
www.mathe-online.at verwiesen. (Leider werden bei
Verwendung des Modzilla-Browsers auf diesen Seiten Vektorpfeile und manche
Klammern nicht korrekt angezeigt.)
Hinweise:
- Lernen sie die Vektordefinition auswendig.
- Verschaffen Sie sich zusätzlich eine Vorstellung von wichtigen Begriffen (Spitze, Schaft) sowie von speziellen Vektoren (Ortsvektor, Richtungsvektor, Verschiebungsvektor, Nullvektor).
- Arbeiten sie möglichst auch Unterschiede und Gemeinsamkeiten heraus.
- Mit Vektoren kann man auch rechnen. Da wir bisher nur mit Zahlen
gerechnet haben, müssen wir für Vektoren unsere Rechenoperationen
(Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) neu definieren. Auf diese
Weise findet man beispielsweise für die Multiplikation drei verschiedene
Varianten (Multiplikation mit einem Skalar,
Skalarprodukt und Kreuzprodukt). Es ist zwar etwas
langweilig, aber man muss für jede Rechenoperation mit Vektoren
die bestehenden Rechenreglen kontrollieren.
Das sollte man wissen:
- Im dreidimensionalen Raum ist ein Vektor durch ein geordnetes Zahlentripel eindeutig festgelegt.
- Man darf Vektoren beliebig im Raum verschieben - mit der Ausnahme von Ortsvektoren, deren Schaft immer im Koordinatenursprung liegt.
- Multipliziert man einen Vektor mit einer Zahl erhält man wieder einen
Vektor. Diese Art von Multiplikation entspricht einer Streckung. Ist die
Zahl negativ zeigt der gestreckte Vektor zusätzlich in die entgegengesetzte
Richtung. Beim Skalar- und Kreuzprodukt werden hingegen zwei Vektoren
miteinander multipliziert. Als Ergebnis ergibt sich beim Skalarprodukt eine
Zahl, beim Kreuzprodukt hingegen ein Vektor.
- Addiert man die Quadrate der Vektorkomponenten, erhält man die Fläche des Quadrats mit der Vektorlänge als Seitenlänge. Die Wurzel dieser Summe entspricht somit der Vektorlänge - man spricht hierbei auch auch vom Betrag des Vektors.
- Das Kreuzprodukt benötigt man in der Oberstufenmathematik praktisch nur zur Bestimmung eines orthogonalen Vektors. Eventuell macht es auch Sinn, mit dem Kreuzprodukt zwei Vektoren auf lineare Abhängikeit zu überprüfen. Beachten Sie, dass die Rechnung hierbei recht fehleranfällig ist.
