Übung: "Abstand zu einem Punkt"

Ein Punkt A liegt auf einer Ursprungsgerade. Gesucht sind die Punkte P und Q, die ebenfalls auf der Ursprungsgeraden liegen und von A einen vorgegebenen Abstand besitzten.

Mit Hilfe der Vektorrechnung lässt sich die Aufgabe recht leicht lösen.

Folgende Vorkenntnisse sind notwendig:

1. Vektor in Koordinatenform.
2. Länge eines Vektors aus den Koordinaten bestimmen.
3. Die Komponenten von Ortsvektoren entsprechen den Punktkoordinaten des Punktes an der Spitze.
   
4. Lösen von Wurzelgeleichungen.
5. Die Streckung eines Vektoren wird durch Multiplikation der Komponenten mit einer Zahl "verursacht".

Hinweise zur Animation:

• Beachten Sie, dass der erste Aufruf der Animationen etwas Zeit in Anspruch nimmt. (Sie benötigen zur Anzeige Java 1.4.2 oder höher.)
• Die Lage von A lässt sich durch Ziehen mit der Maus innerhalb der Zeichenfläche beliebig verändern.
  
• Mit dem Schieberegler (Abstand) kann die Entfernung von P und Q zum Punkt A verändert werden.
• Setzten Sie den Haken bei "Ortsvektor von A anzeigen". Nun können sie einen weiteren Haken bei "Ortsvektor von A strecken" setzen. Stellen sie den roten Schieberegler so ein, dass der gestreckte Vektor zum Ortsvektor von P bzw. von Q wird.
  
• Bei der hier vorgestellten Animation lässt sich Eckenzahl über einen Schieberegler verändern. Der Flächeninhalt des entsprechenden Vielecks wird automatisch berechnet. Auf Wunsch kann eine Fehlerrechnung angezeigt werden.
• Die Animation lässt sich mit dem hellblauen Pfeilsymbol (oben rechts) in den Anfangszustand zurück setzten.

Fragen:

1. Wie groß muss der Streckfaktor auf alle Fälle sein, so dass der gestreckte Vektor zum Ortsvektor von P (Q) werden kann.
2. In welchem Fall muss der Streckfaktor 0 (negativ) sein?
3. In welchem Fall ist der Streckfaktor -1?
4. Der Punkt A soll nun die Koordinaten (4,3) besitzen. Bestimme rechnerisch die die Koordinaten von P und Q bei einer Abstandseinstellung von 2,5. Stelle eine Gleichung auf, deren Lösungen die Werte für die Streckfaktoren ergeben.

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Ausführliche Lösung zur Frage 4

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