hfp3eck
Author: Andreas Brinken

Tipp 1

Tipp 2

Tipp 3

Tipp 4

Tipp 5

Die Höhen des Dreiecks ABC müssen die Innenwinkel 
des roten Dreiecks bei H_a, H_b und H_c in der Mitte teilen
Warum genügt dieser Nachweis für den Beweis?

Der Inkreismittelpunkt liegt auf dem Schnittpunkt der 
Winkelhalbierenden.
Welche Zusammenhänge folgen aus den rechten Winkeln?

Die Höhenfußpunkte liegen auf Thaleskreisen über den 
Seiten. (Der dritte Thaleskreis fehlt aus Gründen der Über-
sichtlichkeit.)  Wie lässt sich zeigen, dass δ_1=δ_2 ist.

Schritt 1: Nutze den Umfangswinkelsatz!

Schritt 2: Die zwei markierten Dreiecke sind rechtwinklig 
und haben einen gemeinsamen Winkel (α).  
Zeige, dass auch die anderen beiden Winkel halbiert werden.

Zusatzfrage:

Schiebe zunächst die Schalter Tipp 1 bis Tipp 5 auf rot !

Aufgabe

Schiebe zunächst die Schalter Tipp 1 bis Tipp 5 auf rot !

Wie lässt sich der Satz erweitern, so dass er auch für stumpf-
winklige Dreiecke gültig ist? Verschiebe die Eckpunkte A, B 
und C, so dass ein stumpfwinkliges Dreieck entsteht.

Konstruiere bei einem spitzwinkligen Dreieck ABC den Inkreis des 
roten Dreiecks H_a H_b H_c - und zwar zangensicher. D. h. bei einer 
Veränderung des Dreiecks ABC muss sich der Inkreis anpassen. 

A = (-0.7000000000000001, 1.36)
B = (5.5200000000000005, 1.1400000000000001)
C = (3.64, 5.8)
poly1, c, a, b = Polygon(A, B, C)
d = Line(C, B)
e = Line(B, A)
f = Line(A, C)
g = OrthogonalLine(B, f)
h = OrthogonalLine(C, e)
i = OrthogonalLine(A, d)
H_c = Intersect(h, e)
H_a = Intersect(i, d)
H_b = Intersect(g, f)
H = Intersect(i, h)
hfp_{3Eck}, e_1, f_1, d_1 = Polygon(H_c, H_a, H_b)
j = Segment(H_b, B)
k = Segment(H_a, A)
l = Segment(H_c, C)
m = Segment(H, C)
n = Segment(H, H_b)
p = Segment(H, A)
AA1 = (-1.22, 8.040000000000001)
EE1: (x(AA1) + 1, y(AA1))
MM11: (x(AA1) + 0.5, y(AA1))
q = Segment(AA1, EE1)
MM1 = Point(q)
r = Segment(AA1, MM11)
s = Segment(MM11, EE1)
δ_1 = Angle(H_b, H_a, A)
δ_2 = Angle(A, H_a, H_c)
AA2: (x(AA1) + 1.5, y(AA1))
EE2: (x(AA1) + 2.5, y(AA1))
MM22: (x(AA1) + 2, y(AA1))
t = Segment(AA2, EE2)
MM2 = Point(t)
a_1 = Segment(AA2, MM22)
b_1 = Segment(MM22, EE2)
α_1 = Angle(A, H_a, B)
γ = Angle(A, H_b, B)
AA3: (x(AA1) + 3, y(AA1))
EE3: (x(AA1) + 4, y(AA1))
MM33: (x(AA1) + 3.5, y(AA1))
c_1 = Segment(AA3, EE3)
MM3 = Point(c_1)
g_1 = Segment(AA3, MM33)
h_1 = Segment(MM33, EE3)
Thales_c = Circle(A, H_a, B)
δ = Angle(H_b, B, A)
ε = Angle(H_b, H_a, A)
i_1 = Segment(H_b, A)
q_1 = Circle(A, H_b, H_a)
AA4: (x(AA1) + 4.5, y(AA1))
EE4: (x(AA1) + 5.5, y(AA1))
MM44: (x(AA1) + 5, y(AA1))
j_1 = Segment(AA4, EE4)
MM4 = Point(j_1)
l_1 = Segment(AA4, MM44)
m_1 = Segment(MM44, EE4)
Thales_b = Circle(H_a, H_c, A)
n_1 = Segment(A, H_c)
r_1 = Circle(A, H_c, H_a)
ζ = Angle(A, H_a, H_c)
η = Angle(A, C, H_c)
poly2, c_2, a_2, h_c = Polygon(A, H_c, C)
α = Angle(H_c, A, C)
poly3, h_b, a_3, b_2 = Polygon(A, B, H_b)
AA5: (x(AA1) + 6, y(AA1))
EE5: (x(AA1) + 7, y(AA1))
MM55: (x(AA1) + 6.5, y(AA1))
s_1 = Segment(AA5, EE5)
MM5 = Point(s_1)
t_1 = Segment(MM55, EE5)
d_2 = Segment(AA5, MM55)
β = Angle(C, H_c, A)
AA6: (x(AA1), y(AA1) - 7.5)
EE6: (x(AA1) + 1, y(AA1) - 7.5)
MM66: (x(AA1) + 0.5, y(AA1) - 7.5)
k_1 = Segment(AA6, EE6)
MM6 = Point(k_1)
p_1 = Segment(AA6, MM66)
e_2 = Segment(MM66, EE6)
AA7: (x(AA6) + 6, y(AA6))
EE7: (x(AA7) + 1, y(AA7))
MM77: (x(AA7) + 0.5, y(AA7))
f_2 = Segment(AA7, EE7)
MM7 = Point(f_2)
g_2 = Segment(AA7, MM77)
h_2 = Segment(MM77, EE7)