Author: Andreas Brinken

Winkelhalbierende Innenwinkel

Winkelhalbierende Außenwinkel

Strecken Ecke-gegenüberl.Ankreisberührpunkt

Ankreise, Ankreisberührpunkte

Tipp 1

Tipp 2

Tipp 3

Auflösung

Auflösung

Zeige, dass CX_a = CX_b bzw. BX_a = BX_c

Zeige, dass die Strecken AX_b und AX_c gleich lang sind.

Auflösung

Drücke die Strecke AX_b durch mit den Seiten a, b und c aus.

\overline{CX}_a=\frac {1}{2}\cdot (a+b+c)-b \mbox{   } \overline{BX}_a=\frac {1}{2}\cdot (a+b+c)-c

Auflösung

Auflösung

Wegen Tipp 1 und 2 teilt X_a den Umfang in der Hälfte.

\mbox{Daher gilt: }\overline{AX}_b=\frac {1}{2}\cdot (a+b+c)

Drücke die Strecken BX_a und CX_a mit a, b und c aus.

Tipp 5

Tipp 6

Tipp 7

Tipp 8

Tipp 4

\mbox{Beschreibe die farbigen Streckenlängen mit }d=\frac {1}{2} \cdot (a+b+c).

\overline{BX}_a=d-c

\overline{CY}_b=d-a

\overline{AZ}_c=d-b

Auflösung

\overline{X_{a} C}=d-b

\overline{Y_{b}A}=d-c

\overline{Z_{c}B}=d-a

Wende nun den Satz von Ceva an (Rückrichtung).

\frac{AA'}{A'B} \cdot \frac{BB'}{B'C} \cdot \frac{CC'}{C'A}  =\frac{(d-b)}{(d-a)} \cdot \frac{(d-c)}{(d-b)} \cdot \frac{(d-a)}{(d-c)} =1

-> Die Ecktransversalen durch die Ankreisberührpunkte besitzen 
    einen gemeinsamen Schnittpunkt, den Nagelpunkt N.

Auflösung

Zeige in der gleichen Weise, dass sich die Seitenhalbierenden 
in einem Punkt schneiden.

Die Seitenmitten teilen die Seiten im Verhältnis 1:1 - damit 
ist die 'Ceva-Gleichung' erfüllt.

Auflösung

Benutze den Satz von der Winkelhalbierenden. 
(www.mathematik-bw.de / Material Sek 1 / Geometrische Beweise)

Auflösung

Auch die Winkelhalbierenden schneiden sich in einem Punkt.
Beweise dies mit dem Satz von Ceva.

Die Dreiecke AXX_b und AX_cX sind kongruent (sww).

Die Dreiecke CXX_b und CX_aX sind kongruent (sww).

Die Dreiecke BXX_a und BX_cX sind kongruent (sww).

A = (-3.663831381012656, 0.8870169814730349)
B = (0.8569760672694393, 0.7980247088690565)
C = (-2.079768928661843, 2.8092500697189653)
Dreieck, c, a, b = Polygon(A, B, C)
cc = Line(A, B)
bb = Line(C, A)
aa = Line(C, B)
wh_γ, whAW_γ = AngularBisector(aa, bb)
wh_β, whAW_β = AngularBisector(cc, aa)
whAW_α, wh_α = AngularBisector(bb, cc)
I = Intersect(wh_β, wh_α)
X_{ } = Intersect(whAW_γ, whAW_β)
Z = Intersect(whAW_β, whAW_α)
Y = Intersect(whAW_α, whAW_γ)
m = OrthogonalLine(X_{ }, cc)
n = OrthogonalLine(X_{ }, aa)
p = OrthogonalLine(X_{ }, bb)
X_b = Intersect(p, bb)
X_a = Intersect(n, aa)
X_c = Intersect(m, cc)
Ankreis_a = Circle(X_{ }, X_b)
r = OrthogonalLine(Y, bb)
s = OrthogonalLine(Y, cc)
t = OrthogonalLine(Y, aa)
Y_a = Intersect(t, aa)
Y_b = Intersect(r, bb)
Y_c = Intersect(s, cc)
Ankreis_b = Circle(Y, Y_c)
a_3 = OrthogonalLine(Z, cc)
b_1 = OrthogonalLine(Z, bb)
d_1 = OrthogonalLine(Z, aa)
Z_a = Intersect(d_1, aa)
Z_b = Intersect(b_1, bb)
Z_c = Intersect(a_3, cc)
q = Circle(Z, Z_a)
AA1 = (-4.58935101609403, 7.365654427042652)
a_1 = 2 (slider from 0.5 to 3, step 0.1)
NM11: (x(AA1) + 0.5, y(AA1))
NM22: (x(AA1) + a_1 + 0.5, y(AA1))
NM33: (x(AA1) + 2 a_1 + 0.5, y(AA1))
NM44: (x(AA1) + 3 a_1 + 0.5, y(AA1))
AA2: (x(AA1) + a_1, y(AA1))
AA3: (x(AA1) + 2 a_1, y(AA1))
AA4: (x(AA1) + 3 a_1, y(AA1))
EE1: (x(AA1) + 1, y(AA1))
EE2: (x(AA1) + a_1 + 1, y(AA1))
EE3: (x(AA1) + 2 a_1 + 1, y(AA1))
EE4: (x(AA1) + 3 a_1 + 1, y(AA1))
M_{AC} = Midpoint(b)
M_{AB} = Midpoint(c)
M_{BC} = Midpoint(a)
mm1 = Segment(AA1, EE1)
mm2 = Segment(AA2, EE2)
mm3 = Segment(AA3, EE3)
mm4 = Segment(AA4, EE4)
MM1 = Point(mm1)
MM2 = Point(mm2)
MM3 = Point(mm3)
MM4 = Point(mm4)
ll1 = Segment(AA1, NM11)
ll2 = Segment(AA2, NM22)
ll3 = Segment(AA3, NM33)
ll4 = Segment(AA4, NM44)
rr1 = Segment(NM11, EE1)
rr2 = Segment(NM22, EE2)
rr3 = Segment(NM33, EE3)
rr4 = Segment(NM44, EE4)
sh_A = Segment(A, M_{BC})
sh_B = Segment(B, M_{AC})
sh_C = Segment(C, M_{AB})
S = Intersect(sh_B, sh_A)
np_A = Segment(X_a, A)
np_B = Segment(B, Y_b)
np_C = Segment(Z_c, C)
N = Intersect(np_B, np_C)
d = OrthogonalLine(I, cc)
e = OrthogonalLine(I, aa)
D = Intersect(aa, e)
AX_c = Segment(A, X_c)
AX_b = Segment(A, X_b)
a_2 = 0.5 (slider from 0 to 5, step 0.1)
AA5: (x(AA1), y(AA1) - a_2)
NM55: (x(AA1) + 0.5, y(AA1) - a_2)
EE5: (x(AA1) + 1, y(AA1) - a_2)
AA6: (x(AA1) + a_1, y(AA1) - a_2)
AA7: (x(AA1) + 2 a_1, y(AA1) - a_2)
AA8: (x(AA1) + 3 a_1, y(AA1) - a_2)
EE7: (x(AA1) + 1 + 2 a_1, y(AA1) - a_2)
EE8: (x(AA1) + 1 + 3 a_1, y(AA1) - a_2)
EE6: (x(AA1) + 1 + 1 a_1, y(AA1) - a_2)
mm6 = Segment(AA6, EE6)
mm7 = Segment(AA7, EE7)
mm8 = Segment(AA8, EE8)
mm5 = Segment(AA5, EE5)
MM5 = Point(mm5)
MM6 = Point(mm6)
MM7 = Point(mm7)
MM8 = Point(mm8)
NM6 = Midpoint(mm6)
NM7 = Midpoint(mm7)
NM8 = Midpoint(mm8)
ll5 = Segment(AA5, NM55)
ll6 = Segment(AA6, NM6)
ll7 = Segment(AA7, NM7)
ll8 = Segment(AA8, NM8)
rr5 = Segment(NM55, EE5)
rr6 = Segment(NM6, EE6)
rr7 = Segment(NM7, EE7)
rr8 = Segment(NM8, EE8)
CX_b = Segment(C, X_b)
CX_a = Segment(C, X_a)
BX_a = Segment(X_a, B)
BX_c = Segment(B, X_c)
Seitenhalbierende = false
Wiha_{Innenwinkel} = false
Wiha_{Außenwinkel} = false
Ecke = false
Ankreise = false
AXX_b, XA, XXb, AXb = Polygon(A, X_{ }, X_b)
AXX_c, AXc, XXc_1, XA_{grün} = Polygon(A, X_c, X_{ })
α = Angle(A, X_b, X_{ })
β = Angle(X_{ }, X_c, A)
α_2 = Angle(X_c, A, X_{ })
α_1 = Angle(X_{ }, A, X_b)
Auflösung_1 = false
CXXb, XC_2, XX_b, CXb_{gelb} = Polygon(C, X_{ }, X_b)
CXXc, CXa_{rosa}, XX_a, XC_{rot} = Polygon(C, X_a, X_{ })
γC = Angle(C, X_b, X_{ })
δC = Angle(X_{ }, X_a, C)
γC_3 = Angle(X_a, C, X_{ })
γC_4 = Angle(X_{ }, C, X_b)
Auflösung_2 = false
BXXa, x_a, XXa_{orange}, x_{ } = Polygon(B, X_{ }, X_a)
BXXc, x_1, XXc, XB_{rot} = Polygon(B, X_c, X_{ })
Bε = Angle(B, X_a, X_{ })
Bζ = Angle(X_{ }, X_c, B)
Bβ_1 = Angle(X_c, B, X_{ })
Bβ_2 = Angle(X_{ }, B, X_a)
Auflösung_{2b} = false
Auflösung_3 = false
Auflösung_4 = false
CYb = Segment(C, Y_b)
AYb = Segment(Y_b, A)
AZc = Segment(A, Z_c)
BZc = Segment(Z_c, B)
W_a = Intersect(wh_α, aa)
W_c = Intersect(wh_γ, cc)
W_b = Intersect(wh_β, bb)
Auflösung_5 = false
Auflösung_6 = false
Auflösung_7 = false
Auflösung_8 = false