smtheo
Author: Andreas Brinken

Suche gleichschenklige Trapeze, denn gleichschenklige Trapeze 
besitzen einen Umkreis.

M_a M_b ist Seitenmittenparallele zur Dreiecksseite c und daher 
parallel zu M_c H_c.

Tipp 1

Tipp 2

Tipp 3

Tipp 4

Tipp 5

Auch M_b M_c ist Seitenmittenparallele zur Seite a und daher 
halb so lang wie a. Weiter bilden die Parallelen zu h_c 
durch M_a und B eine Streifenschar. Die Mittelparallele 
ist somit Mittelsenkrechte der Strecke H_c B.

In analoger Weise zeigt man, dass die anderen Höhen-
fußpunkte auf dem Umkreis der Seitenmitten liegen.

Zwischenergebnis: 
Der Umkreis der Höhenfußpunkte geht auch durch die drei 
Seitenmitten.

Tipp 6

Die Dreiecke ABH,und BCH haben je zwei Euler-Punkte als 
Seitenmitten und die gleichen Höhenfußpunkte wie das
Dreieck ABC.

Zeige, dass das Viereck H_c M_a M_b M_c ein gleichschenkliges Trapez 
ist.

AA1 = (-2.7271312463710147, 6.492658647484473)
EE1: (x(AA1) + 1, y(AA1))
AA2: (x(AA1), y(AA1) - 0.4)
AA3: (x(AA1) + 3.5, y(AA1))
AA4: (x(AA3), y(AA3) - 0.4)
EE3: (x(AA3) + 1, y(AA1))
EE4: (x(AA3) + 1, y(AA1) - 0.4)
EE2: (x(AA1) + 1, y(AA1) - 0.4)
ss1 = Segment(AA1, EE1)
ss2 = Segment(AA2, EE2)
ss3 = Segment(AA3, EE3)
ss4 = Segment(AA4, EE4)
MM1 = Point(ss1)
MM2 = Point(ss2)
MM3 = Point(ss3)
MM4 = Point(ss4)
MP1 = Midpoint(ss1)
MP2 = Midpoint(ss2)
MP3 = Midpoint(ss3)
MP4 = Midpoint(ss4)
aa1 = Segment(AA1, MP1)
aa2 = Segment(AA2, MP2)
aa3 = Segment(AA3, MP3)
aa4 = Segment(AA4, MP4)
bb1 = Segment(MP1, EE1)
bb2 = Segment(MP2, EE2)
bb3 = Segment(MP3, EE3)
bb4 = Segment(MP4, EE4)
Anker1: (x(AA1), y(AA1) - 2)
a = 8 (slider from 0 to 9, step 0.1)
b = 7 (slider from 0 to 9, step 0.1)
c = 9 (slider from 0 to 9, step 0.1)
A = (-3.0682557663432353, -4.3708452962462525)
d = Circle(A, a)
B = Point(d)
e = Circle(B, b)
f = Circle(A, c)
C = Intersect(e, f, 2)
ABC, c_1, a_1, b_1 = Polygon(A, B, C)
hc = OrthogonalLine(C, c_1)
hb = OrthogonalLine(B, b_1)
ha = OrthogonalLine(A, a_1)
aa = Line(C, B)
cc = Line(B, A)
bb = Line(C, A)
H_c = Intersect(hc, cc)
H_b = Intersect(hb, bb)
H_a = Intersect(aa, ha)
H = Intersect(ha, hb)
M_c = Midpoint(c_1)
M_b = Midpoint(b_1)
M_a = Midpoint(a_1)
Feuerbachkreis = Circle(M_b, M_c, H_c)
E_C = Intersect(Feuerbachkreis, hc, 2)
E_B = Midpoint(B, H)
E_A = Midpoint(A, H)
h = Segment(H_a, A)
i = Segment(H_b, B)
j = Segment(H_c, C)
k = Segment(A, H)
l = Segment(H, B)
m = Segment(C, H)
n = Segment(C, H)
p = Segment(A, H)
q = Segment(B, H)
r = Segment(C, H)
s = Segment(B, H)
t = Segment(H, A)
Trapez1, McHc, MaHc, m_c1, m_a1 = Polygon(M_c, H_c, M_a, M_b)
a1 = Segment(M_b, M_a)
b1 = Segment(M_c, M_b)
c1 = OrthogonalLine(M_a, c_1)
d1 = Line(B, j)
e1 = Segment(H_c, M_a)
f1 = Segment(M_c, H_c)
AA5: (x(AA1) + 7, y(AA1))
EE5: (x(AA5) + 1, y(AA1))
ss5 = Segment(AA5, EE5)
MP5 = Midpoint(ss5)
aa5 = Segment(AA5, MP5)
bb5 = Segment(MP5, EE5)
MM5 = Point(ss5)
Trapez2, m_c2, m_a2, McHa, MaHa = Polygon(M_a, M_b, M_c, H_a)
Trapez3, m_c, m_a, h_b, m_b = Polygon(M_c, M_a, H_b, M_b)
AA6: (x(AA5), y(AA5) - 0.4)
EE6: (x(AA6) + 1, y(AA6))
ss6 = Segment(AA6, EE6)
MP6 = Midpoint(ss6)
aa6 = Segment(AA6, MP6)
bb6 = Segment(MP6, EE6)
MM6 = Point(ss6)
ABH, a_2, b_2, h_1 = Polygon(B, H, A)
α = Angle(B, H_c, C)
β = Angle(A, H_a, B)
γ = Angle(A, H_b, B)
BCH, h_2, b_3, c_2 = Polygon(B, C, H)