Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis
Author: Andreas Brinken
Date: 14.12.2007

Ein Punkt P auf dem Einheitskreis legt mit dem Koordinatenurspung und der positiven x-Achse sowohl einen Winkel (zwischen 0° und 360°) als auch eine Bogenlänge (zwischen 0 und 2*pi) fest.

Da die Veranschaulichungen des x-Wertes von P (blau) sowie des y-Wertes (rot) zusamment mit der Strecke OP rechtwinklige Dreiecke ergeben, stimmt die ursprüngliche Definition über die Streckenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck mit der folgenden Definition überein. 

Der x-Wert von P ist gleich dem Kosinus des Winkels im Gradmaß (Kosinus der Bogenlänge im Bogenmaß). Diese Zahl lässt sich durch die blauen Längen veranschaulichen. 

Der y-Wert von P ist gleich dem Sinus des Winkels im Gradmaß (Sinus der Bogenlänge im Bogenmaß). Rote Längen = Veranschaulichung des Sinus.

Der Tanges des Winkels (bzw. Bogens) ist gleich dem Verhältnis des y-Wertes zum x-Wert von P. Streckt man das "Sinus-Kosinus"-Dreiecke so, dass die "Kosinusseite" zu eins wird, wächst die "Sinusseite" zu einer Länge, die dem Tangens entspricht. Zentrische Streckungen sind "längenverhältnistreu"!

   oberhalb der x-Achse (also 
für α zwischen 0 und 180°, bzw.
    b zwischen 0 und π)ist der 
               Sinus POSITIV

    unterhalb der x-Achse (also 
für α zwischen 180° und 360°, bzw.
   b zwischen π und 2π) ist der
              Sinus NEGATIV

  links von der y-Achse 
(also zwischen 90° und 
270°, bzw. zwischen π/2 
     und 3/2*π) ist der 
    Kosinus NEGATIV

O = Intersect(xAxis, yAxis)
B = Point(yAxis)
c = Circle(O, B)
C = Point(xAxis)
P = Point(c)
a = OrthogonalLine(P, xAxis)
A = Intersect(a, xAxis)
Sinus = Segment(A, P)
d = OrthogonalLine(P, yAxis)
D = Intersect(d, yAxis)
Kosinus = Segment(D, P)
b_1 = Segment(O, P)
E = Intersect(c, xAxis, 2)
α = Angle(E, O, P)
b = CircleArc(O, E, P)