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Zum Schluß klären wir noch, was sich über die Messung
nichtverträglicher Observabler aussagen läßt, d.h. man mißt an
einem System im Zustand
eine Observable
, für
die
kein (verallgemeinerter) Eigenzustand von
ist.
Wir brauchen im folgenden gar keine Annahmen über den konkreten
Zustand des Systems zu machen. Seien also
und
beliebige zu Observablen
bzw.
gehörige Operatoren. Dann sei
. Wegen der positiven Semidefinitheit des
Skalarprodukts gilt
 |
(115) |
Wegen der Hermitezität der Operatoren können wir dafür auch
schreiben
 |
(116) |
Ausmultiplizieren des Operatorprodukts gibt dann
mit  |
(117) |
Aufgrund der Hermitezität der Operatoren
und
sind
die Koeffizienten des quadratischen Polynoms reell, und da es für
alle
positiv semidefinit ist, kann sein Radikand
höchstens 0 sein. Daraus ergibt sich dann die Ungleichung
oder  |
(118) |
Setzen wir hierin statt
und
die Operatoren
und
ein, folgt daraus die allgemeine Unschärferelation
 |
(119) |
wobei
die Standardabweichung der Observablen
aufgrund der Wahrscheinlichkeitsverteilung der möglichen
Meßergebnisse ist, die durch den Zustand des Systems
gegeben ist:
 |
(120) |
Analog ist natürlich auch
definiert.
Setzt man nun insbesondere
und
für
und
ein, folgt aus der Heisenbergalgebra die bekannte
Orts-Impulsunschärferelation:
 |
(121) |
Die Unschärferelation beantwortet nun klar die Frage, was bei der
Messung einer mit dem Systemzustand nicht verträglichen Observable
passiert. Es ist i.a. gar nicht möglich, beide Observable
gleichzeitig exakt zu messen (im Fall von Ort und Impuls ist das sogar
immer der Fall, d.h. unabhängig vom Meßergebnis, denn die rechte
Seite hängt in diesem Fall nicht vom Zustand
des Systems
ab, in dem es sich zum Zeitpunkt der Messung befindet).
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