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Wir wollen in diesem Abschnitt unsere eben gewonnenen Erfahrungen mit
der einfachen Wellenlösung der Schrödingergleichung nutzen, um die
Physik der Schrödingergleichung zu präzisieren und auf Teilchen in
äußeren Potentialfeldern zu erweitern.
Zunächst bemerken wir, daß die oben mehr heuristisch gefundene
Methode zur Gewinnung von Lösungen der freien Schrödingergleichung
eine sehr einfache mathematische Erklärung besitzt. Betrachten wir
doch einmal für einen Moment die Lösung dieser Gleichung als rein
mathematische Aufgabe, d.h. wir fragen uns, welche Eigenschaften die
Lösungen dieser Gleichung bestimmen. Die Schrödingergleichung
besitzt die Gestalt:
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(27) |
Aufgrund der Linearität dieser Gleichung bietet sich ein Ansatz in
Form einer Fouriertransformierten an:
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(28) |
Diesen Ansatz in die Gleichung eingesetzt ergibt eine rein algebraische
Gleichung
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(66) |
Dies läßt sich unabhängig von der Darstellung in der Form der
Kommutatorbeziehung
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(67) |
schreiben. Jetzt wollen wir die Wirkung des Impulsoperators auf einen
verallgemeinerten Ortseigenvektor finden.
Dazu definieren wir die folgende Funktion
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(68) |
Durch Gradientenbildung folgt dann
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(69) |
Nun definieren wir den Operator
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(70) |
Aus der Kommutatorrelation (67) folgt die Rekursionsformel
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(71) |
und zusammen mit dem Rekursionanfang
ergibt sich
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(72) |
Mit der Exponentialreihe finden wir aber damit sofort
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(73) |
Wir wenden nun den Ortsoperator auf den oben definierten Ket
an:
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(74) |
Das bedeutet aber, daß
verallgemeinerter
Eigenvektor des Ortsoperators zum Eigenwert
ist. Damit ergibt sich aber insbesondere auch
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(75) |
Durch hermitesche Konjugation folgt daraus
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(76) |
Daraus ergibt sich aber für jeden Ket
, für den
gilt:
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(77) |
womit aber gezeigt ist, daß in der Tat die Kommutatorrelation
(67) äquivalent zu der oben aufgrund der Einstein-de
Broglie-Beziehung hergeleiteten Ortsdarstellung (65) des
Impulsoperators ist.
Dieser Beweis ist der erste Schritt zu der Erkenntnis, daß nicht die
Wellenfunktion die primäre Beschreibungsweise der Quantenphänomene
liefert, sondern die von jeder Basis unabhängige Beschreibung mit
Operatoren in Hilberträumen. Im folgenden Abschnitt werden wir auch
die Dynamik der Quantentheorie im abstrakten Hilbertraum formulieren
und damit die Konstruktion der allgemeinen Struktur der Quantentheorie
abschließen.
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