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Die Heisenbergsche Unschärferelation

Zum Schluß klären wir noch, was sich über die Messung nichtverträglicher Observabler aussagen läßt, d.h. man mißt an einem System im Zustand $ \ket{\psi}$ eine Observable $ \op{B}$, für die $ \ket{\psi}$ kein (verallgemeinerter) Eigenzustand von $ \op{B}$ ist.

Wir brauchen im folgenden gar keine Annahmen über den konkreten Zustand des Systems zu machen. Seien also $ \op{A}$ und $ \op{B}$ beliebige zu Observablen $ A$ bzw. $ B$ gehörige Operatoren. Dann sei $ \lambda \in \R$. Wegen der positiven Semidefinitheit des Skalarprodukts gilt

$\displaystyle \braket{(\op{A}+\i \lambda \op{B})\psi}{(\op{A}+\i \lambda \op{B}) \psi} \geq 0.$ (115)

Wegen der Hermitezität der Operatoren können wir dafür auch schreiben

$\displaystyle \matrixe{\psi}{(\op{A}-\i \op{B})(\op{A}+\i \op{B})}{\psi} \geq 0.$ (116)

Ausmultiplizieren des Operatorprodukts gibt dann

$\displaystyle \lambda^2 b^2 +2 c \lambda + a^2 \geq 0$    mit $\displaystyle b^2=\erw{\op{B}^2}_{\psi}, \; c=\frac{\i}{2} \erw{\comm{\op{A}}{\op{B}}}_{\psi} a^2=\erw{\op{A}^2}_{\psi}.$ (117)

Aufgrund der Hermitezität der Operatoren $ \op{A}$ und $ \op{B}$ sind die Koeffizienten des quadratischen Polynoms reell, und da es für alle $ \lambda \in \R$ positiv semidefinit ist, kann sein Radikand höchstens 0 sein. Daraus ergibt sich dann die Ungleichung

$\displaystyle a^2 b^2 \geq c^2$    oder $\displaystyle \vert a\vert \vert b\vert \geq \vert c\vert.$ (118)

Setzen wir hierin statt $ \op{A}$ und $ \op{B}$ die Operatoren $ \op{A}'=\op{A}-\erw{A}_{\psi}$ und $ \op{B}'=\op{B}-\erw{B}_{\psi}$ ein, folgt daraus die allgemeine Unschärferelation

$\displaystyle \Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2} \left \vert \erw{\comm{\op{A}}{\op{B}}}_{\psi} \right \vert,$ (119)

wobei $ \Delta A$ die Standardabweichung der Observablen $ \op{A}$ aufgrund der Wahrscheinlichkeitsverteilung der möglichen Meßergebnisse ist, die durch den Zustand des Systems $ \ket{\psi}$ gegeben ist:

$\displaystyle \Delta A=\sqrt{\matrixe{\psi}{(\op{A}-\erw{A})^2}{\psi}}.$ (120)

Analog ist natürlich auch $ \Delta B$ definiert.

Setzt man nun insbesondere $ \op{x}$ und $ \op{y}$ für $ \op{A}$ und $ \op{B}$ ein, folgt aus der Heisenbergalgebra die bekannte Orts-Impulsunschärferelation:

$\displaystyle \Delta x \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2}.$ (121)

Die Unschärferelation beantwortet nun klar die Frage, was bei der Messung einer mit dem Systemzustand nicht verträglichen Observable passiert. Es ist i.a. gar nicht möglich, beide Observable gleichzeitig exakt zu messen (im Fall von Ort und Impuls ist das sogar immer der Fall, d.h. unabhängig vom Meßergebnis, denn die rechte Seite hängt in diesem Fall nicht vom Zustand $ \ket{\psi}$ des Systems ab, in dem es sich zum Zeitpunkt der Messung befindet).



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