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Das Heisenbergbild

Als eine Anwendung der bild- und darstellungsunabhängigen Formulierung der quantentheoretischen Dynamik betrachten wir die Herleitung der dynamischen Gleichungen im Heisenbergbild. Dieses Bild ist im gewissen Sinne konträr zum Schrödingerbild. Die volle Zeitabhängigkeit wird dabei auf die Operatoren gewälzt. Das bedeutet, daß wir gemäß (96) und (97)

$\displaystyle \op{X}=\op{H}_H$    und $\displaystyle \op{Y}=0$ (101)

zu setzen haben. Explizit heißt das, daß die kovariante Zeitableitung identisch ist mit der totalen Zeitableitung und die Zustände überhaupt nicht zeitabhängig sind.

In diesem Bild läßt sich auch sehr einfach der bildunabhängige Zeitentwicklungsoperator in der Ortsdarstellung, also die Greensche Funktion der Schrödingergleichung bei gegebenem Hamiltonoperator, gewinnen. Es gilt wie in jedem Bild:

$\displaystyle \psi(t,\vec{x})=(\braket{\vec{x},t}{\psi})_H=\int \d^3 \vec{x}' (\braket{\vec{x},t}{\vec{x}',t_0})_H \psi(\vec{x}',t_0)$ (102)

Folglich ist

$\displaystyle U(\vec{x},t;\vec{x}',t_0)=(\braket{\vec{x},t}{\vec{x}',t_0})_H.$ (103)

Freilich ist die Lösung der dafür benötigten Gleichungen nicht wesentlich einfacher als die im ersten Kapitel angegebene Methode, weil man ja erst die Operatorgleichung für die Zeitentwicklung und dann noch das Eigenproblem zu lösen hat.

Wir wollen zur Illustration den Propagator des freien Teilchens mit dieser Methode berechnen. Wir schreiben jetzt die Operatoren im Heisenbergbild ohne Indizes, um die Rechnung übersichtlicher zu gestalten. Definitionsgemäß ist der Hamiltonoperator des freien Teilchens

$\displaystyle \op{H}=\frac{\vec{\op{p}}^2}{2m}.$ (104)

Nach (97) und (101) folgt zunächst für die Zeitabhängigkeit der Fundamentaloperatoren

$\displaystyle \frac{\d \vec{\op{p}}}{\d t}=\frac{1}{\i \hbar} \comm{\vec{\op{p}...
...\d t} =\frac{1}{\i \hbar}\comm{\vec{\op{x}}}{\op{H}} = \frac{1}{m}\vec{\op{p}}.$ (105)

Die Lösung ist in diesem Fall trivial:

$\displaystyle \vec{\op{p}}(t)=\vec{\op{p}}(t_0)=\vec{\op{p}}_0, \; \vec{\op{x}}(t)=\vec{\op{x_0}}+\frac{(t-t_0)}{m}\vec{\op{p}}.$ (106)

Multiplizieren wir die Eigenwertgleichung

$\displaystyle \vec{\op{x}}(t)\ket{\vec{x},t}=\vec{x} \ket{\vec{x},t}$ (107)

mit $ \bra{\vec{x}_0,t_0}$ und wenden die Lösung (106) der Heisenbergschen Operatorbewegungsgleichungen sowie die Hermitezität der Operatoren $ \vec{\op{x}}{}_0$ und $ \vec{\op{p}}{}_0$ an, finden wir die Bestimmungsgleichung

$\displaystyle \left [\frac{\hbar (t-t_0)}{\i m} \partial_{\vec{x}_0}+\vec{x}_0 ...
...t] \braket{\vec{x}_0,t_0}{\vec{x},t}=\vec{x} \braket{\vec{x}_0,t_0}{\vec{x},t},$ (108)

wobei wir (77) benutzt haben. Die allgemeine Lösung dieser Gleichung lautet

$\displaystyle \braket{\vec{x}_0,t_0}{\vec{x},t}=N \exp\left [\frac{\i m}{2(t-t_0)\hbar} (x-x_0)^2 \right].$ (109)

Die Normierungskonstante bestimmt sich aus der Anfangsbedingung

$\displaystyle \braket{\vec{x}_0,t_0}{\vec{x},t_0}=\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}_0)$ (110)

zu

$\displaystyle N=\left(\frac{m}{2 \pi \i \hbar(t-t_0)} \right)^{3/2},$ (111)

was wir bei der Behandlung mit Hilfe der Schrödingergleichung bereits in Abschnitt 2.1 ausgerechnet haben. Unsere jetzige Lösung stimmt natürlich genau mit der dort gewonnenen überein, wie es sein muß.



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