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Basisunabhängige Formulierung der Quantentheorie

Wir wollen in diesem Abschnitt unsere eben gewonnenen Erfahrungen mit der einfachen Wellenlösung der Schrödingergleichung nutzen, um die Physik der Schrödingergleichung zu präzisieren und auf Teilchen in äußeren Potentialfeldern zu erweitern.

Zunächst bemerken wir, daß die oben mehr heuristisch gefundene Methode zur Gewinnung von Lösungen der freien Schrödingergleichung eine sehr einfache mathematische Erklärung besitzt. Betrachten wir doch einmal für einen Moment die Lösung dieser Gleichung als rein mathematische Aufgabe, d.h. wir fragen uns, welche Eigenschaften die Lösungen dieser Gleichung bestimmen. Die Schrödingergleichung besitzt die Gestalt:

$\displaystyle \i \hbar \partial_t \psi(t,\vec{x})= -\frac{\hbar^2 \Delta_x}{2 m} \psi(t,\vec{x}).$ (27)

Aufgrund der Linearität dieser Gleichung bietet sich ein Ansatz in Form einer Fouriertransformierten an:

$\displaystyle \psi(t,\vec{x})=\int \frac{\d \omega \d^3\vec{k}}{(2 \pi)^2}{\tilde{\psi}}(\omega,\vec{k}) \exp(-\i \omega t+ \i \vec{k} \vec{x}).$ (28)

Diesen Ansatz in die Gleichung eingesetzt ergibt eine rein algebraische Gleichung

$\dis \hbar \psi(\vec{x}).$ (66)

Dies läßt sich unabhängig von der Darstellung in der Form der Kommutatorbeziehung

$\displaystyle \comm{\op{x}_i}{\op{p}_j}=\i \hbar \delta_{ij} \op{1}$ (67)

schreiben. Jetzt wollen wir die Wirkung des Impulsoperators auf einen verallgemeinerten Ortseigenvektor finden.

Dazu definieren wir die folgende Funktion

$\displaystyle \ket{\vec{x},\vec{\alpha}}=\exp(\i \vec{\alpha} \vec{\op{p}}) \ket{\vec{k}}.$ (68)

Durch Gradientenbildung folgt dann

$\displaystyle \left . \frac{\partial}{\partial \vec{\alpha}} \ket{\vec{x},\vec{\alpha}} \right\vert _{\vec{\alpha}=0} = \i \vec{\op{p}} \ket{\vec{x}}.$ (69)

Nun definieren wir den Operator

$\displaystyle \vec{\op{O}}(k)=\comm{\vec{\op{x}}}{(\vec{\alpha} \vec{\op{p}})^k}, \; k \in \N.$ (70)

Aus der Kommutatorrelation (67) folgt die Rekursionsformel

$\displaystyle \vec{\op{O}}(k)=(\vec{\alpha} \vec{\op{p}}) \op{O}(k-1) + \i \hbar \vec{\alpha} (\vec{\alpha} \vec{\op{p}})^{k-1}$ (71)

und zusammen mit dem Rekursionanfang $ \vec{\op{O}}(0)=0$ ergibt sich

$\displaystyle \op{O}(k)=\i \hbar k \vec{\alpha}(\vec{\alpha} \vec{\op{p}})^{k-1}.$ (72)

Mit der Exponentialreihe finden wir aber damit sofort

$\displaystyle \comm{\vec{\op{x}}}{\exp(\i \vec{\alpha} \vec{\op{p}})}=-\hbar \vec{\alpha} \exp(\i \vec{\alpha} \vec{\op{p}}).$ (73)

Wir wenden nun den Ortsoperator auf den oben definierten Ket $ \ket{\vec{x},\alpha}$ an:

$\displaystyle \vec{\op{x}} \ket{\vec{x},\vec{\alpha}} = \vec{\op{x}} \exp(\i \v...
...right \} \ket{\vec{x}}=(\vec{x}-\hbar \vec{\alpha}) \ket{\vec{x},\vec{\alpha}}.$ (74)

Das bedeutet aber, daß $ \ket{\vec{x},\vec{\alpha}}$ verallgemeinerter Eigenvektor des Ortsoperators zum Eigenwert $ \vec{x}-\hbar
\vec{\alpha}$ ist. Damit ergibt sich aber insbesondere auch

$\displaystyle \vec{\op{p}} \ket{\vec{x}}=\frac{1}{\i} \left . \frac{\partial}{\...
... _{\alpha=0}=-\frac{\hbar}{\i} \frac{\partial}{\partial \vec{x}} \ket{\vec{x}}.$ (75)

Durch hermitesche Konjugation folgt daraus

$\displaystyle \bra{\vec{x}}\vec{\op{p}}=+\frac{\hbar}{\i} \frac{\partial}{\partial \vec{x}} \bra{\vec{x}}.$ (76)

Daraus ergibt sich aber für jeden Ket $ \ket{\psi}$, für den $ \psi(x)=\braket{\vec{x}}{\psi} \in S(\R)$ gilt:

$\displaystyle \matrixe{\vec{x}}{\vec{\op{p}}}{\psi}=\frac{\hbar}{\i}\frac{\partial}{\partial \vec{x}} \psi(\vec{x}),$ (77)

womit aber gezeigt ist, daß in der Tat die Kommutatorrelation (67) äquivalent zu der oben aufgrund der Einstein-de Broglie-Beziehung hergeleiteten Ortsdarstellung (65) des Impulsoperators ist.

Dieser Beweis ist der erste Schritt zu der Erkenntnis, daß nicht die Wellenfunktion die primäre Beschreibungsweise der Quantenphänomene liefert, sondern die von jeder Basis unabhängige Beschreibung mit Operatoren in Hilberträumen. Im folgenden Abschnitt werden wir auch die Dynamik der Quantentheorie im abstrakten Hilbertraum formulieren und damit die Konstruktion der allgemeinen Struktur der Quantentheorie abschließen.



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