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In der klassischen Physik, aber auch in der Elektrotechnik oder Materialwissenschaft, wird oft mit komplexen Zahlen gerechnet, obwohl alle berechneten (und letztlich auch immer meßbaren) Größen immer reel sind. Es gibt in der klassischen Physik keine imaginären Energien, Orte, Zeiten, Spannungen, Ströme usw.! Die Einführung komplexer Größen dient nur der Bequemlichkeit beim Rechnen. Im Endergebnis treten nur reele Zahlen auf - im Zweifel nimmt man vom Ergebnis nur den Realteil oder den Imaginärteil. | |
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In der Quantenmechanik ist das anders. Die konventionellen meßbaren Größen, die zwar letztlich immer als Endergebnis erscheinen, sind zwar auch immer reel, aber die Wellenfunktion selbst, manchmal auch die Zeit, ist oft eine intrinsisch komplexe Zahl. | |
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Das ist schwer zu akzeptieren, aber das waren die irrationalen Zahlen auch. Pythagoras lies einen seiner Schüler, der behauptete, daß es irrationale Zahlen wirklich gäbe, sogar hinrichten (heute ist es viel ungefährlicher, seinem Professor zu widersprechen). | |
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Obwohl komplexe Zahlen oft mit dem berühmten Mathematiker Gauss assoziiert werden, ist ihre Geschichte etwas älter. Insbesondere war ein Mann instrumental, Gerolama Cardano, der heute fast schon vergessen ist, dessen Biographie aber so interessant ist, daß es sich lohnt sie kurz darzustellen. | |
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Diese Seite wird die wesentlichsten Grundlagen der komplexen Zahlen und ihre Nützlichkeit bei einigen Fragestellungen der klassischen Physik wiederholen. Die wichtigsten Stichworte dazu sind | |
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Definition und Eigenschaften komplexer Zahlen; Gaußsche Zahlenebene. | |
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Eulersche Beziehung. | |
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Einfache Beispiele zur Nützlichkeit der komplexen Zahlen. | |
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Ausblick auf komplexe Funktionen. |
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Real- und Imaginärteil | |||||||||
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Komplexe Zahlen sind Zahlen der Form z = x + iy wobei x und y reelle Zahlen sind. Die komplexen Zahlen stellen eine Erweiterung der reellen Zahlenmenge dar. | |||||||||
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Die imaginäre Einheit i genügt
der Gleichung i2 = -1. Daher gilt für die
imaginäre Einheit i = (-1)½. Ist z = x + iy, so ist Re(z) = x der Realteil und Im(z) = y der Imaginärteil der komplexen Zahl z. | |||||||||
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Achtung: Nicht iy ist der Imaginärteil der komplexen Zahl z sondern nur die reelle Zahl y. | |||||||||
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Zahlenebene | |||||||||
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Eine komplexe Zahl z = x + iy läßt sich in der Gaußschen Zahlenebene durch einen Punkt P darstellen. Hierzu faßt man den Real- und den Imaginärteil der komplexen Zahl z = x + iy als kartesische Koordinaten des Punktes P in der x,y-Ebene auf. | |||||||||
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In den Anwendungen werden komplexe Zahlen meist durch sog. Zeiger dargestellt. Dabei handelt es sich um einen Pfeil, der vom Ursprung des Koordinatensystems zum Bildpunkt P(z) gerichtet ist. Zeiger werden oft durch Unterstreichen gekennzeichnet:z = x + iy. | |||||||||
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Achtung: Der Zeiger z ist eine geometrische Darstellung der komplexen Zahl z und nicht mit einem Vektor zu verwechseln! | |||||||||
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Konjugiert komplexe Zahlen; Betrag oder Modulus | |||||||||
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Die komplexe Zahl z* = x - iy ist die zu z = x + iy konjugiert komplexe Zahl. | |||||||||
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Die zu einer komplexen Zahl konjugiert komplexe Zahl erhält man durch einen Vorzeichenwechsel im Imaginärteil von z, während der Realteil unverändert bleibt: | |||||||||
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Re(z*) = Re(z) und
Im(z*) = - Im(z) Die Entstehung der konjugiert komplexe Zahl z* läßt sich in der Gaußschen Zahlenebene durch Spiegelung der komplexen Zahl z an der reellen Achse veranschaulichen. | |||||||||
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Unter dem Betrag
|z| der komplexen Zahl z = x +
iy versteht man die Länge des
zugehörigen Zeigers in der Gaußschen
Zahlenebene: |z| = (x2 + y2 )½. Statt Betrag sagt man auch Absolutbetrag oder Modul. |
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Die Eulersche Beziehung ist eine der wichtigsten und merkwürdigsten Gleichungen der Mathematik. Sie verkoppelt 5 der wichtigsten Zahlen die es gibt: 0, 1, i, p und e! Mehr darüber findet sich in spannender Form in den Feynman lectures. | |||||
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z = x + iy bezeichnet man als Gaußsche
oder kartesische Darstellung einer komplexen Zahl. Daneben existieren noch
zwei weitere Darstellungsformen: die trigonometrische Form und die
Eulersche Form. | |||||
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In der trigonometrischen
Form wird eine komplexe Zahl über ihre Polarkoordinaten r
und j festgelegt: z = r·(cosj + i sinj), mit r ![]() ![]() Hierbei gilt:
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Mit Hilfe der Transformationsgleichungen x = r · cosj und y = r · sinj kann man eine komplexe Zahl aus der kartesischen Form in die trigonometrische Form überführen. | |||||
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Der Übergang von der komplexen Zahl z zu der konjugiert
komplexen Zahl z* entspricht in der
trigonometrischen Darstellung einem Vorzeichenwechsel im Argument j während der Betrag der komplexen Zahl konstant
bleibt: z* =r·(cos-j + i sin-j) = r·(cosj - i sinj). | |||||
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Verwendet man die von Euler stammende Formel
so erhält man aus der trigonometrischen Form die Eulersche Form einer komplexen Zahl: z = r·eij. | |||||
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Diese Schreibweise einer komplexen Zahl ist besonders vorteilhaft beim Ausführen von Multiplikationen und Divisionen. | |||||
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Die zu z = r·eij gehörende konjugiert komplexe Zahl
z* lautet in Eulerscher
Form: z* = [r·eij]* = r·e-ij. |
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Addition,
Subtraktion, Multiplikation und Divison von komplexen Zahlen in verschiedenen Darstellungsformen: | |
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Addition und Subtraktion komplexer Zahlen in kartesischer Form: | |
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Komplexe Zahlen können nur in kartesischer Form addiert/subtrahiert
werden. Dies geschieht indem man ihre Realteile addiert/subtrahiert
und ihre Imaginärteile
addiert/subtrahiert: z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2). z1 - z2 = (x1 + iy1) - (x2 + iy2) = (x1 + x2) - i(y1 + y2). | |
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Multiplikation und Division komplexer Zahlen | |
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Multiplikation in
kartesischer Form Es gelten die üblichen Multiplikationsregeln für Klammerausdrücke; danach muß nach Real- und Imaginärteil sortiert werden: | |
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z1 · z2 = (x1 + iy1) · (x2 + iy2) = (x1x2- y1 y2) + i(x1y2+ x2 y1). | |
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Multiplikation in trigonometrischer Form | |
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Für die Ausführung von Multiplikationen erweist sich die
trigonometrische Form oft als vorteilhafter als die kartesischer Form. Die
sture Durchmuliplikation ergibt zunächst: z1 · z2 = r1·(cosj1 + i sinj1)·r2·(cosj2 + i sinj2) = (r1·r2)·[(cos(j1+j2) + i sin(j1+j2)]. | |
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Dies läßt sich zusammenfassen zu z1 · z2 = z = r1·eij1·r2·eij2 = (r1·r2)·ei(j1+j2) - das Bildunggesetz ist klar. | |
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Division komplexer Zahlen in kartesischer Form | |
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z1 /z2 = (x1
+ iy1) / (x2 + iy2)
= (x1x2+ y1
y2) /(x22 +
y22) + i
(x2y1- x1
y2) /(x22 +
y22) Mühsam, aber klar. | |
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Division komplexer Zahlen in trigonometrischer Form | |
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z1 /z2 =
r1·(cosj1 + i
sinj1)/r2·(cosj2 + i sinj2) =
(r1/r2)·[(cos(j1-j2)
+ i sin(j1-j2)], oder, nach Umordnen
z1 /z2 = r1·eij1/r2·eij2 = (r1/r2)·ei(j1-j2). Einfach und elegant. | |
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Potenzen und Wurzeln einer komplexen Zahl. | |
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Wendet man die Potenzgesetze auf z = r·eij an, so erhält man die Moivre-Formel, welche angibt, wie man die n-te Potenz einer komplexen Zahl berechner: | |
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zn = rn·einj = rn·(cos nj+ i sin nj). | |
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Aus der Moivre-Formel läßt sich außerdem eine Formel zum Berechnen der
n-ten Wurzel einer komplexen Zahl
herleiten. z hat genau n verschiedene n-te Wurzeln
w0 bis wn-1, die folgender Gleichung
genügen: wk = r1/n[cos [(j + 2kp)/n] + i sin[(j + 2kp)/n]), k= 0 ... n-1 | |
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Natürlicher Logarithmus einer komplexen Zahl. | |
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Um den natürlichen Logarithmus einer komplexen Zahl berechnen zu
können, ist es von Vorteil von der (erweiterten) Exponentialform der
komplexen Zahl auszugehen: z = r·ei(j+2k·p). Daraus folgt ln z = ln[r·ei(j+2k·p)] = lnr + ln ei(j+2k·p) = lnr + i(j+2k·p). |
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Zunächst brauchen wir die Darstellung sinusförmiger Schwingungen mit Hilfe komplexer Zeiger | |||||
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y(t) = A·sin(wt +j) beschreibt
eine sich mit der Zeit sinusförmig verändernde Größe (Schwingung).
Dabei ist A ist die Schwingungsamplitude, w = 2pf die Kreisfrequenz und j die Phase oder der Nullphasenwinkel. | |||||
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Die harmonische Schwingung y(t) läßt sich durch einen komplexen Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene darstellen. Der komplexe Zeiger besitzt die Länge A und rotiert im mathematisch positiven Drehsinn mit der Winkelgeschwindigkeit w um den Ursprung des Koordinatensystems. | |||||
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Zum Zeitpunkt t = 0 schließt der Zeiger y mit der Bezugsachse (positive reelle Achse) den Nullphasenwinkel j ein. | |||||
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In der Zeit t überstreicht der
Zeiger den Winkel wt. Die Lage des
Winkels in der Gaußschen Zahlenebene läßt sich durch die zeitabhängige
komplexe Zahl darstellen: y = A·[ cos(wt +j) + i·sin(wt +j)] = A·ei(wt +j) = A·eij·eiwt = A·eiwt. Dabei ist | |||||
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A =
A·eij ist die
komplexe Amplitude. Sie ist zeitunabhängig. A besitzt
den Betrag |A| = A und den Phasenwinkel
j, welcher den Anfangswinkel des Zeigers
festlegt. eiwt ist die Zeitfunktion, welche die Rotation des Zeigers mit der Winkelgeschwindigkeit w beschreibt. | |||||
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Der Imaginärteil des rotierenden Zeigers
y entspricht dem Momentanwert der Sinusschwingung
y(t): y(t) = Im(y) = Im[A·eiwt] = A·sin(wt +j). | |||||
y(t) entspricht der Projektion des Zeigers auf die Imaginärachse zum Zeitpunkt t. | ||||||
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Die Überlagerung zweier gleichfrequenter Sinusschwingungen in komplexer Darstellung zeigt nun wie proktische deise betrachtungsweise ist: | |||||
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Gegeben sind zwei Schwingungen gleicher
Frequenz: y1 = A1·sin(wt +j1) und y2 = A2·sin(wt +j2). | |||||
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Die ungestörte Überlagerung dieser Schwingungen
ergibt nach dem Superpositionsprinzip eine Schwingung y gleicher
Frequenz: y = A·sin(wt +j). Die Amplitude A und die Phase j der resultierenden Schwingung berechnet man weit einfacer in komplexer Schreibweise als mit sin und cos Funtionen.. | |||||
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Dazu stellt man die Schwingungen
y1 und y2 durch komplexe
Zeiger dar: y1 —> y1 = A1eiwt y2 —> y2 = A2eiwt | |||||
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Für die komplexen Schwingungsamplituden
A1 und A2
gilt: A1 = A1·eij1, und A2 = A2·eij2. | |||||
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Anschließend überlagert man die komplexen
Einzelschwingungen y1 und
y2 durch schlichte Addition. Es folgt für y:
y = A1eiwt + A2eiwt = (A1 + A2)·eiwt = Aeiwt | |||||
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Für die resultierende komplexe Amplitude gilt daher: A = A1 + A2. | |||||
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Die gesuchte Schwingung y
entspricht dem Imaginärteil der berechneten komplexen Schwingung
y. Daher gilt: y = Im(y) = Im(Aeiwt) = A·sin(wt +j). | |||||
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Das war eien einfache Überlagerung zweier Schwingungen. Es ist einleuchtend, daß bei komplizierteren Problemen die komplexe Darstellung enorme Vorteile hat. | |||||
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Schwingkreise in der Elektrotechnik | |||||
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In der Wechselstromtechnik geht man von
sinusförmigen Strom- und Spannungsverläufen aus. Daher ist es möglich,
Stom und Spannung als komplexe Zeiger in der Gaußschen Ebene zu
betrachten: u = 2½U·eiwt i = 2½I·eiwt | |||||
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Den Quotinenten aus der komplexen Spannung
u und dem komplexen Strom i
bezeichnet man als Impedanz oder Scheinwiderstand
Z: Z = u/i = R + iX. | |||||
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Für einen (ohmschen) Widerstand R
gilt: u = R·i. Daher besitzt ein ohmscher Widerstand die reelle Impedanz ZR = R. | |||||
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Für eine Kapazität C gilt der
folgende Zusammenhang zwischen Strom und Spannung: i = C· du/dt, so daß man für die Impedanz der Kapazität C folgenden Wert erhält: Z C= 1 / (iwC). | |||||
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Aus dem Induktionsgesetz erhält man folgenden
Zusammenhang zwischen u und i
für eine Induktivität L. u = L· di/dtDaraus ergibt sich folgende imaginäre Impedanz Z L für die Induktivität: Z L = i wL. | |||||
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Mit Hilfe dieser Impedanzen lassen sich Wechselstromkreise einfach berechnen. Dazu betrachten wir als Beispiel folgenden Reihenschwingkreis aus einem Widerstand R, aus einer Induktivität L und aus einer Kapazität C: | |||||
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Nach den Kirchhoffschen Regeln erhält man die
Gesamtimpedanz Z des Wechselstromkreises durch
Addition der Impedanzen der drei
Bauteile: Z = R + i wL + 1/i wC = R + i (wL - 1/wL). | |||||
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Die folgende Abbildung zeigt die Lage der Gesamtimpedanz Z im Zeigerdiagramm, die sich aus der graphischen Addition der einzelnen Zeiger ergibt: | |||||
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Der Wirkwiderstand der Reihenschaltung ist der
Realteil der Impedanz Z
: Re (Z ) = R. | |||||
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Der Blindwiderstand der Reihenschaltung ist der
Imaginärteil der Impedanz Z : Im (Z ) = wL - 1/wL. | |||||
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Der reelle Scheinwiderstand Z ist der Betrag des
komplexen Vektors Z. Die Phasenverschiebung j = j u - j i zwischen Spannung und Strom läßt sich berechnen zu: j = arctan( X / R ) = arctan[(wL - 1/wL) / R ]. | |||||
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Das Verhältnis von Z L zu Z C bestimmt die Größe von j und damit ob der Strom der Spannung nacheilt, ob die Spannung dem Strom nacheilt oder ob im Resonanzfall Strom und Spannung in Phase sind. |
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Hat man erst mal komplexe Zahlen mit all ihren Darstellungsarten und Rechenregeln, lassen sich natürlich jetzt auch Funktionen mit komplexen Variablen definieren. | |
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Damit ist ein großes und (auch für die Materialwissenschaft) sehr wichtiges Gebiet der Mathematik definiert, die Funktionentheorie. | |
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Es ergeben sich völlig neue und wunderbare Beziehungen, eine davon wollen wir uns mal genauer anschauen. Dazu betrachten wir die Lösungen der Poisson Gleichung, der Grundgleichung der Elektrostatik, die uns in der Halbleiterei laufend begegnen wird. | |
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Die Poisson-Gleichung der Elektrostatik lautet: | |
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DF = -r/rr0 with D = Delta operator (d2/dx2 +d2/dy2 + d2/dz2), F = electrostatic potential, r = charge. | |
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In two
diimensions, it is a special case of a general type of differential
equation, that comes up all the time in all kinds of problems, the Laplace equation DF = 0, or, written out d2F/dx2 +d2/dy2 = 0 always for the condition that F obeys some special bondary conditions, namely being constant on some given surface (in electrostatic terms, this simply means that the surface of any conductor in the problem must be an equipotential surface). The Laplace equation thus is a basic equation for many boundary-value problems. | |
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There is no easy way of solving the Laplace equation; analytically it only can be done if extremely simple surfaces are considered for the boundary conditions. | |
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Now consider any complex function f(z) of a complex variable z = x + iy. | |
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For example: f(z) = z·logz, - anything. (Sorry, did it again) | |
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Für das erste Beispiel haben wir ausgeschrieben f(z) = x2 - y2 + 2ix·y; setzen wir eine komplexe Zahl mit dem Wertepaar (x,y) ein, erhalten wir als Funktionswert eine neue komplexe Zahl. | |
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f(z) läßt sich also auch schreiben
als f(z) = U(x,y) + iV(x,y), d.h. analog zur Darstellung der komplexen Zahl als Summe aus einer Funktion U die von zwei reellen Variablen x,y abhängt plus i mal eine andere Funktion V, die ebenfalls von den reellen Variablen x,y abhängt. | |
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Das ist natürlich verallgemeinerbar: Alle komplexen Funktionen lassen sich so darstellen! | |
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Wir können also eine beliebige uns bekannte oder nur schreibbare Funtion f(x) nehmen, statt x die komplexe Zahl z substitutionieren, und - nach kürzerer oder länglicher Rechnung - damit zwei reelle Funktionen generieren: U(x) und V(y). | |
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Und nun zum Überraschungseffekt: | |
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Jede dieser unendlich vielen Funktionen U(x) und V(y) ist eine Lösung der Laplace Gleichung! | |
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Wir wissen nur nicht, zu welchem konkreten Randwertproblem! | |
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Den Beweis für diese Behauptung überlassen wir der Mathematik. Es sollte aber klar geworden sein, daß Funktionen komplexer Variabler für Überraschungen gut sind. | |
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Leicht verrückt: Wir kennen die Antwort - aber nicht die Frage! Wer das Kultbuch (so in den neunziger Jahren) "The Hitchhikers Guide to the Galaxy" von Douglas Adams (der in diesem Jahr (2001) gestorben ist) gelesen hat, wird sich jetzt fragen, ob Adams die Funktionentheorie kannte, denn das Buch (genauer gesagt alle 4 Bücher der Trilogie(?)) dreht sich genau um dies Frage: Die Antwort zu den letzten Fragen bezüglich des Leben, des Universums und überhaupt und so, ist bekannt; sie lautet: 40. Nur die genaue Frage ist offen. |