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Als eine Anwendung der bild- und darstellungsunabhängigen
Formulierung der quantentheoretischen Dynamik betrachten wir die
Herleitung der dynamischen Gleichungen im Heisenbergbild. Dieses Bild
ist im gewissen Sinne konträr zum Schrödingerbild. Die volle
Zeitabhängigkeit wird dabei auf die Operatoren gewälzt. Das
bedeutet, daß wir gemäß (96) und (97)
und  |
(101) |
zu setzen haben. Explizit heißt das, daß die kovariante
Zeitableitung identisch ist mit der totalen Zeitableitung und die
Zustände überhaupt nicht zeitabhängig sind.
In diesem Bild läßt sich auch sehr einfach der bildunabhängige
Zeitentwicklungsoperator in der Ortsdarstellung, also die Greensche
Funktion der Schrödingergleichung bei gegebenem Hamiltonoperator,
gewinnen. Es gilt wie in jedem Bild:
 |
(102) |
Folglich ist
 |
(103) |
Freilich ist die Lösung der dafür benötigten Gleichungen nicht
wesentlich einfacher als die im ersten Kapitel angegebene Methode,
weil man ja erst die Operatorgleichung für die Zeitentwicklung und
dann noch das Eigenproblem zu lösen hat.
Wir wollen zur Illustration den Propagator des freien Teilchens mit
dieser Methode berechnen. Wir schreiben jetzt die Operatoren im
Heisenbergbild ohne Indizes, um die Rechnung übersichtlicher zu
gestalten. Definitionsgemäß ist der Hamiltonoperator des freien
Teilchens
 |
(104) |
Nach (97) und (101) folgt zunächst für die
Zeitabhängigkeit der Fundamentaloperatoren
 |
(105) |
Die Lösung ist in diesem Fall trivial:
 |
(106) |
Multiplizieren wir die Eigenwertgleichung
 |
(107) |
mit
und wenden die Lösung (106) der
Heisenbergschen Operatorbewegungsgleichungen sowie die Hermitezität
der Operatoren
und
an, finden wir
die Bestimmungsgleichung
![$\displaystyle \left [\frac{\hbar (t-t_0)}{\i m} \partial_{\vec{x}_0}+\vec{x}_0 ...
...t] \braket{\vec{x}_0,t_0}{\vec{x},t}=\vec{x} \braket{\vec{x}_0,t_0}{\vec{x},t},$](img243.gif) |
(108) |
wobei wir (77) benutzt haben. Die allgemeine Lösung
dieser Gleichung lautet
![$\displaystyle \braket{\vec{x}_0,t_0}{\vec{x},t}=N \exp\left [\frac{\i m}{2(t-t_0)\hbar} (x-x_0)^2 \right].$](img244.gif) |
(109) |
Die Normierungskonstante bestimmt sich aus der Anfangsbedingung
 |
(110) |
zu
 |
(111) |
was wir bei der Behandlung mit Hilfe der Schrödingergleichung bereits
in Abschnitt 2.1 ausgerechnet haben. Unsere jetzige Lösung stimmt
natürlich genau mit der dort gewonnenen überein, wie es sein muß.
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