Fassen wir nun noch einmal zusammen, was wir bis jetzt vom Standpunkt der Quantentheorie über physikalische Systeme wissen.
Wir haben schon mehrfach betont, daß die Elemente der Quantentheorie,
nämlich die hermiteschen Operatoren, die Observablen repräsentieren,
und die Hilbertraumvektoren, die die Zustände des Systems
repräsentieren, selbst nicht direkt beobachtbar sind. Mögliche
Meßwerte von Observablen sind durch die Eigenwerte der sie
repräsentierenden Observablen bestimmt. Bei einer Messung geht das
System in einen zum Meßwert gehörigen Eigenzustand über. Der
Zustand wird durch Messung eines vollständigen Satzes kommutierender
Observablenoperatoren eindeutig festgelegt. Allen Observablen, zu dem
dieser Zustand nicht Eigenzustand ist, kommt kein eindeutiger Wert zu,
es können aber Erwartungswerte und die Wahrscheinlichkeit des
Eintretens bestimmter ihrer Meßwerte gewonnen werden. Befindet sich
das System im normierten Zustand
, so ist die
Wahrscheinlichkeit, es in einem Zustand
zu finden durch
gegeben, und wird eine Observable
durch
den hermiteschen Operator
repräsentiert, so ist ihr
Erwartungswert durch
gegeben.
All diese an realen Systemen durch Messung prinzipiell überhaupt
erfaßbaren Größen ändern sich offenbar nicht, wenn wir eine
unitäre Transformation wie folgt auf Zustandskets und
Observablen repräsentierende Operatoren wirken lassen:
![]() |
(93) |
![]() |
(94) |
Im folgenden wollen wir die Dynamik des Systems in einem beliebigen
Bild formulieren, so daß wir kein spezielles, z.B. das
Schrödingerbild, mehr benötigen. Gleichwohl machen wir vom
Schrödingerbild zur Herleitung dieser Gleichungen Gebrauch. Seien
also
und
Zustandskets und Operatoren im
Schrödingerbild und
und
die gemäß
(92) transformierten Objekte. Dann ergibt sich
![]() |
(95) |
Für die Observablen folgt die Bewegungsgleichung
![]() |
(98) |
Die physikalisch relevanten dynamischen Aussagen der Quantentheorie
hängen jetzt nur von , während das Bild durch die
willkürliche Festlegung eines der hermiteschen Operatoren
oder
abhängt. Die beiden Operatoren sind durch
miteinander verknüpft.
Man kann leicht zeigen, daß umgekehrt die Annahme der Bewegungsgleichungen (96) und (97) auf eine bildunabhängige Dynamik der relevanten Größen führt. So gilt
![]() |
(99) |