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Zusammenfassung

Wir können nunmehr die heuristische Betrachtung der Quantentheorie zu einigen grundlegenden Postulaten zusammenfassen.

  1. Der Zustand eines quantenmechanisches System wird durch einen normierten Vektor $ \ket{\psi}$ eines Hilbertraums $ \mathcal{H}$ repräsentiert. Befindet sich das System im Zustand $ \ket{\psi}$, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, es bei einer Messung im Zustand $ \ket{\phi}$ vorzufinden:

    $\displaystyle w_{\psi}(\phi)=\vert\braket{\phi}{\psi}\vert^2.$ (112)

  2. Jede physikalische Observable $ O$ wird durch einen auf einem dichten Teilraum von $ \mathcal{H}$ definierten hermiteschen Operator $ \op{O}$ repräsentiert.

    Wird durch exakte Messung von $ O$ der Wert $ o$ bei dem System festgestellt, so ist $ o$ ein (verallgemeinerter) Eigenwert des korrespondierenden Operators $ \op{O}$, und das System geht in einen (verallgemeinerten) Eigenzustand zu diesem (verallgemeinerten) Eigenwert über.

    Befand sich das System vor der Messung im Zustand $ \ket{\psi}$, befindet es sich nach der Messung in dem (verallgemeinerten) Eigenzustand

    $\displaystyle \ket{\tilde{\psi}}=\int_{o'=o} \d o' \ket{o'}\braket{o'}{\psi},$ (113)

    wobei das Integralzeichen $ \int \d o'$ ein Integral bezeichnet, falls $ o$ zum kontinuierlichen Spektrum von $ \op{O}$ und eine Summe, falls es zum diskreten Spektrum gehört. Integriert bzw. summiert wird über alle (verallgemeinerten) Eigenvektoren zum (verallgemeinerten) Eigenwert $ o$, der sich als Resultat der Messung ergeben hat.

  3. Die Dynamik des Systems wird eindeutig durch die Zuordnung eines hermiteschen nach unten beschränkten Operators $ \op{H}$, des Hamiltonoperators des Systems, bestimmt.

    Ist $ \op{O}$ der die Observable $ O$ repräsentierende hermitesche Operator $ \op{O}$, so repräsentiert die kovariante Ableitung

    $\displaystyle \dot{\op{O}}=\frac{1}{\i \hbar} \comm{\op{O}}{\op{H}}+\partial_t^{\text{expl}} \op{O}$ (114)

    die zeitliche Ableitung $ \dot{O}$ der Observablen $ O$.



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