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Ein Kondensator C wird an eine Wechselspannungsquelle angeschlossen. In der Zuleitung liegt noch ein (kleiner) Widerstand. Die Spannung an seinen Anschlüssen ist der Stromstärke in der Zuleitung proportional. Wir oszilloskopieren die Spannung der Quelle und die Stromstärke in der Zuleitung. |
Hier ist das Schaltbild des Experimentaufbaus. Als Quelle dient ein Funktionsgenerator oder eine Wechselspannungsquelle (50 Hz). Die Kapazität ist z.B. 4 Mikrofarad. Der Messwiderstand (links vorn im Bild) beträgt 10 Ohm oder weniger. Die Frequenz beträgt bei den Aufnahmen ca. 600 Hz. |
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Das zeigt das Oszilloskop:
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In diesem Photo der Oszilloskop-Darstellung ist oben die Spannung und unten
die Stromstärke in der Zuleitung (Spannung am Messwiderstand) dargestellt.
Oben: Spannung - sinusförmig. Unten: Stromstärke - cosinusförmig. |
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Hier sind beide Kurven ineinander verschoben. Man sieht, dass
Stromstärke und Spannung nicht gleichzeitig ihren Scheitelwert erreichen.
Man sagt, die Kurven haben einen Phasenunterschied. Die Spannung hat einen sinusförmigen Verlauf. (Kurvenverlauf mit der größeren Amplitude) Die Stromstärke (Kurvenverlauf mit kleinerer Amplitude) beginnt ganz links im Oszilloskopbild mit dem Maximalwert. Ihr Verlauf ist also cosinusförmig. |
Die Quelle gibt eine sinusförmige Spannung ab. Für sie gilt:
Dabei ist Û (sprich U-Dach) der
Maximalwert oder Scheitelwert der
Spannung.
Er entspricht dem, was man in der Akustik die Amplitude einer
Tonschwingung nennen würde.
Für die Stärke eines stationären (gleichbleibenden) Stroms gilt:
Ist I(t) zeitabhängig, so gilt für die
Momentanstromstärke
(die Definition ist genau parallel z.B. zur Momentangeschwindigkeit bei
einer nicht gleichförmigen Bewegung)
Anschaulich gesprochen bedeutet dies:
Es ergibt sich immer dann eine (Momentan)stromstärke, wenn sich die Ladung
auf den Kondensatorplatten verändert. Dann fließt Ladung
entweder auf die Kondensatorplatten auf - oder von ihnen herunter.
Die Stromstärke-Zeit-Funktion I(t) ist also die Ableitung der
Ladungs-Zeit-Funktion Q(t).
Eine Ableitung nach der Zeit bezeichnen die Physiker mit einem
"Punkt" auf der jeweiligen Größe, eine Ableitung
nach einer Ortskoordinate wird - wie in der Mathematik - mit einem
"Strich" bezeichnet.
Weiter gilt für den Kondensator:
Wenn die Spannung zeitabhängig ist, dann ist es also auch die Ladungsmenge auf den Kondensatorplatten. Die Kapazität C ist eine Konstante.
Wir müssen also Q(t) nach der Zeit ableiten um I(t) zu bekommen (s.o.).
Setzen wir U(t) ein und leiten ab:
Sinus abgeleitet ergibt cosinus.
Der Faktor Omega im umrahmten Ausdruck stammt aus
der inneren Ableitung des Klammerausdrucks.
Für die Stromstärke gilt also:
Lässt man die Phasenlage von Spannung und Stromstärke außer
Betracht und konzentriert sich nur auf die Scheitelwerte, so fällt ein
ähnlicher Zusammenhang wie beim ohm'schen Gesetz auf:
Je größer die Spannung, desto größer die
Stromstärke.
Der Quotient aus Spannung und Stromstärke ist also konstant.
Man definiert daher parallel zur Gleichung R = U/I den sogenannten Wechselstromwiderstand XC eines Kondensators:
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Im Gegensatz zum ohm'schen Widerstand ist der
Wechselstromwiderstand frequenzabhängig! |
Merktipp: Wenn du dir unsicher bis, ob dieses Produkt im Zähler oder Nenner
steht, überlege Dir, was das Bauelement im Gleichstromkreis machen
würde. |
Ein praktisches Hilfsmittel um sich klar zu machen, wie die Sinus- und Cosinuskurven bei Stromstärke und Spannung zustande kommen, ist das sogenannte Zeigerdiagramm.
Dabei rotiert ein System aus Zeigern gegen den Uhrzeigersinn. Die y-Komponente der jeweiligen Zeigervektoren gibt dann den Momentanwert an.
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Zeitpunkt t = 0 s. Ist die Spannung U(t) sinusförmig, dann ist zur Zeit t = 0 s
die Spannung U(t) = 0 V. |
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Zu einem späteren Zeitpunkt. Man erhält den Momentanwert der beiden Größen zu jedem Zeitpunkt, indem man die vertikale Komponente betrachtet.So entspricht z.B. die Senkrechte rechts im blau eingefärbten Dreieck genau dem Momentanwert der Spannung. |
| Hinweis, falls das Applet im Unterricht zur Demonstration benutzt werden
soll: Klickt man mit der rechten Maustaste in das Diagramm, wird es in ein kleines neues Browserfenster kopiert, das man anschließend vergrößern kann. |
Arbeite die Punkte in "Aufgaben / Fragen" der Reihenfolge nach durch, sie helfen beim Verständnis der Darstellung.
1) Phasenlage der Spannungs- und Stromstärkekurve.
Die dünnen vertikalen Linen entsprechen dem Momentanwert
der Spannung (rot) und der Stromstärke (grün).
Sie werden rechts im Diagramm in zeitlichen Abfolge aufgetragen.
a) Belasse die voreingestellten Werte und klicke "Schritt
>>" mehrmals bis die Zeiger wieder in der Ausgangsstellung
stehen.
b) Belasse die voreingestellten Werte, klicke aber auf die Option
"y-Komponenten zeigen - nein" und klicke "Reset".
Klicke nun "Rotieren".
Beachte, wie sich die die Stromstärke und Spannungskurven aufbauen.
2.) Scheitelwert der Stromstärke und Wechselstromwiderstand.
Erinnerung:
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c) Verkleinere / vergrößere die Kapazität durch Auswahl im Auswahlfeld "Kapazität". Klicke zunächst wieder "Reset" und dann "Rotieren".
d) Belasse nun die Kapazität bei 1000 Mikrofarad. Ändere die Frequenz auf 50 Hz.
Beachte den Unterschied zur Spule im Wechselstromkreis.
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Die Simulationen entstanden mit Hilfe von Physlets von Wolfgang
Christian und Mario Belloni vom Davidson College, USA (Copyright Hinweise) |
