Der Satz von Ceva

Gionanni Ceva (1647 - 1734) war ein italienischer Mathematiker. Sein berühmtester mathematischer Satz ermöglicht es unter anderem, auf elegante Weise Schnittpunkte von Ecktransversalen (s. u.) nachzuweisen (z. B. Inkreismittelpunkt als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, Schwerpunkt als Schnittpunkt der Seitenhalbierenden, Schnittpunkt der Dreieckshöhen oder Nagelpunkt als Schnittpunkt der Verbindungsgeraden der Ankreisberührpunkte mit den gegenüberliegenden Dreiecks-Eckpunkten).

Satz von Ceva:

Genau dann, wenn sich drei (nicht parallele) Ecktransversale im Dreieck in einem Punkt schneiden, ist das Produkt der durch die Schnittpunkte mit den Seiten erzeugten Streckenverhältnisse gleich 1.

Vorbemerkungen:

  1. Unter einer Eckttransversalen im Dreieck versteht man die Verbindungsstrecke einer Dreiecksecke mit einem Punkt auf der gegenüber liegenden Dreiecksseite (bzw. deren Verlängerung). Die Dreiecksseiten sind keine Ecktransversalen.
  2. Bei dem Produkt der Streckenverhältnisse spielt die Reihenfolge der Punkte eine große Rolle. Vertauscht man bei genau einer Strecke die Punkte, so ändert sich deren "Orientierung". Dies spiegelt sich durch ein Minuszeichen wieder.
  3. Die Formulierung "genau dann" beinhaltet zwei Richtungen:
    "Hinrichtung": Aus dem Schnittpunkt folgt Produkt gleich 1.
    "Rückrichtung": Wenn das Produkt gleich 1 ist, schneiden sich die Transversalen.

Bemerkungen zur Animation:

  1. Du kannst die Animation mit dem Pfeilsymbol oben rechts in den Anfangszustand zurück setzen.
  2. Mit der Schaltfläche gelangst du zum nächsten Tipp. Du kannst aber auch mit dem Schieberegler (ab Tipp 1) mehrere Schritte überspringen.

Aufgaben:

  1. Beschreibe die zentrale Beweisidee. Welche Vorarbeit ist notwendig, damit man diese Idee einsetzen kann?
  2. Wiederhole die Beweisschritte schriftlich in eigenen Worten.
  3. Statt der Ähnlichkeit kann man auch mit Strahlensätzen argumentieren. Beschreibe diese Vorgehensweise. Welchen Strahlensatz muss man verwenden und wo ist die Strahlensatzfigur? 
  4. Schaue dir die Informationen zum Nagelpunkt an und betrachte die zugehörige Animation. Wie wird hier der Satz von Ceva eingesetzt und wie werden die Voraussetzungen für die Gültigkeit des Satzes nachgewiesen.