Scheitelbestimmung mit "Hilfsparabel"

Der Scheitel ist der tiefste/höchste Punkt einer Parabel. Bei vielen Anwendungsaufgaben (z. B. höchster Punkt von Wurfparabeln oder Extremwertaufgaben) sucht man genau diesen Punkt.

Zu einer quadratischen Funktion (Zuordnung)in der allgemeinen Form (y=ax^2+bx+c) kann man leicht eine Hilfsfunktion (-zuordnung) angeben, mit deren Hilfe leicht die x-Koordinate des Scheitels bestimmt werden kann. Durch Einsetzen dieses Wertes in die ursprüngliche Zuordnung erhält man auch die y-Koordinate des Scheitels.

Die nachfolgende Animation veranschaulicht die Vorgehensweise:

  1. Durch Weglassen des konstanten Summanden (c) erhält man eine in y-Richtung verschobenen Parabel durch den Ursprung (hellblau).
  2. Bei der Zuordnungsvorschrift der Hilfsfunktion lässt sich ein "x" ausklammern. Setzt man den Ausdruck gleich null, so liefern die beiden Faktoren je eine Nullstelle dieser Hilfsfunktion.
    (Man verwendet hierbei den Merksatz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist.)
  3. Der x-Wert des Hilfsparabel-Scheitels liegt genau in der Mitte zwischen diesen beiden Nullstellen. Natürlich stimmt er mit dem x-Wert des Scheitels der ursprünglichen Parabel überein.
  4. Setze den erhaltenen x-Wert in die Zuordnungsvorschrift ein, dann erhälst du auch den y-Wert des Scheitels.

 

Hinweise:

  • In der Konstruktion lassen sich die Zahlfaktoren (Koeffizienten) der quadratischen Zuordnungsvorschrift mit Schiebereglern verändern.
  • Mit dem hellblauen Pfeilsymbol oben rechts auf dem Zeichenblatt kannst du die Konstruktion zurück setzten.
  • Da der Koeffizient vor dem quadratischen Summanden (a) auch in der Scheitelform einer quadratischen Funktion y=a*(x-d)^2+e auftaucht, lässt sich auf diese Weise auch die allgemeine Form in die Scheitelform überführen.

Scheitelbestimmung mit Hilfsparabel: