Schnittwinkel zwischen durch Punktepaare festgelegte Geraden
Werden zwei Geraden durch zwei Punktepaare festgelegt, lässt sich aus jedem Punktepaar die Geradensteigung bestimmen. Aus dieser Steigung folgt mit der Umkehrfunktion des Tangens sofort der Steigungswinkel. Mit Hilfe einer Skizze lässt sich aus den Steigungswinkeln der Geraden leicht der gesuchte Schnittwinkel bestimmen. Diese Vorgehensweise wird im Folgenden näher beschrieben:
Aus der Trigonometrie ist bekannt, dass bei einem rechtwinkligen Dreieck der Tangens dem Quotienten aus Gegenkathete und Ankathete entspricht. Wir bilden somit aus den Differenzen der y-Werte die Gegenkathete und aus den Differenzen der x-Werte die Ankathete. Der Wert des Tangens liefert mit einem Taschenrechner sofort den entsprechenden Winkel im Steigungsdreieck - unser Steigungswinkel.
Aus den beiden Steigungswinkeln lässt sich nun leicht der Schnittwinkel bestimmen. Hierbei ist es aber sinnvoll, eine Skizze zu machen.
Beachte:
- Subtrahiert man die Koordinaten des weiter rechts liegenden Punktes von denen des links davon platzierten, ist der Wert für die Ankathete stets positiv. Der Wert der Gegenkathete wird bei negativen Steigungen negativ.
- Bedenke, dass der Schnittwinkel stets kleiner gleich 90° ist. Falls sich aus dem Tangens einmal ein größerer Winkel ergibt, ist die Differenz zu 180° unser Steigungswinkel.
Aufgaben:
- Kläre mit Hilfe der nachfolgenden Animation die Begriffe Steigungswinkel und Schnittwinkel.
- Verändere mit Hilfe der blauen Schieberegler die y-Koordinaten der Punkte P und Q bzw. R und T so, dass der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden immer weiter ansteigt. Warum "springt" der Schnittwinkel plötzlich?
- Wie errechnet sich der Schnittwinkel zwischen g und h, wenn keine der Geraden eine negativ Steigung besitzt. Wie sieht es aus, wenn genau eine Gerade (bzw. beide Geraden) eine negative Steigung aufweist?