Kondensator und Widerstand in Reihe im Wechselstromkreis.

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Bevor du diese Seite durcharbeitest, solltest du diese beiden Seiten durchgearbeitet und verstanden haben:

• Das Zeigerdiagramm - eine Einführung
• Kondensator im Wechselstromkreis

Ein Kondensator der Kapazität C und ein Widerstand R werden in Reihe (hintereinander) an eine Wechselspannungsquelle angeschlossen. Da es sich um einen unverzweigten Stromkreis handelt, ist die Stromstärke an allen Punkten des Stromkreises gleich groß. Dies gilt auch für alle Zeitpunkte. Die Stromstärke als gemeinsame Größe machen wir daher zum Ausgangspunkt unserer Betrachtungen.

1) 5,04 V + 8,37 V = 10,09 V  ??
Im Wechselstromkreis darf man Teilspannungen nicht einfach addieren !

Das Photo zeigt einen Versuchsaufbau nach dem Schaltbild von oben. Die Spannung am Kondensator UCist 5,04 V. (linkes Multimeter - gelbe Kabel) Die Spannung am Widerstand URist 8,37 V. (rechtes Multimeter - scharze Kabel) Die Gesamtspannung der Quelle Uges ist 10,09 V. (Multimeter unten neben Funktionsgenerator - rote Kabel) Statt der vielleicht erwarteten 13,41 V (5,04 V + 8,37 V) zeigt das Multimeter nur etwa 10 V Gesamtspannung an!

Beim Wechselstromkreis ist es also offensichtlich nicht möglich, die Teilspannungen einfach zu addieren um die Gesamtspannung zu erhalten, vor allem dann nicht, wenn unterschiedliche Bauelemente (z.B. Kondensator und Widerstand) im Stromkreis sind! Im Wechselstromkreis ist die Gesamtspannung nicht die (algebraische) Summe der Teilspannungen! Warum eigentlich nicht??

2) Stromstärke und Teilspannung sind nicht immer phasengleich!

Widerstand:	Beim Widerstand sind Stromstärkeund Spannung am Widerstand ÛR in Phase. Für den Scheitelwert der Spannung am Widerstand gilt: ÛR = R * Î Der Widerstandswert R ist dabei konstant und frequenzunabhängig.
Kondensator:	Beim Kondensator eilt die Stromstärke der Spannung am Kondensator ÛC um 90 Grad in der Phase voraus. (vgl. dazu diese Seite) Für den Scheitelwert der Spannung am Kondensator gilt: ÛC = XC * Î der Wechselstromwiderstand des Kondensators XC ist dabei 1 / (w * C) und hängt also von der Frequenz ab. Die Winkelgeschwindigkeit w hängt mit der Frequenz f folgendermaßen zusammen: w = 2 * p * f

3) Die Teilspannungen muss man vektoriell addieren.

Das Zeigersystem soll gegen den Uhrzeigersinn rotieren. Der Vektor für die Stromstärke weist nach rechts. Mit ihm phasengleich ist der Vektor für die Spannung am Widerstand ÛR. Die Spannung am Kondensator ÛC ist der Stromstärke in der Phase 90 Grad hinterher Die Gesamtspannung findet man als Vektoraddition von ÛR und ÛC zur Gesamtspannung Ûges (grau unterlegtes, rechtwinkliges Dreieck).

Nach dem Satz des Pythagoras gilt also:

(Û_ges)² = (Û_C)² + (Û_R) ²

Prüfen wir es mit den Messwerten aus dem Photo nach !!

(Û_ges)² = (5,04 V)² + (8,37 V) ²

Û_ges = 9,77 V

( Das ist zwar nicht exakt die angezeigte Gesamtspannung von 10,09V, jedoch liegt dieses Ergebnis deutlich näher an 10,09 V als die 13,41V die man nach algebraischer Addition erhalten hätte.
Die Messgeräte zeigen außerdem Effektivwerte und keine Scheitelwerte, was aber für die Überlegung keine Rolle spielt.)

4) Auch Wechselstromwiderstände werden vektoriell addiert!

Arbeiten wir mit der Gleichung von oben noch etwas weiter.
Die jeweilige Teilspannung ist das Produkt aus Wechselstromwiderstand und Stromstärke. (vgl. U = R * I)

(Û_ges)² = (Û_C)² + (Û_R) ² = ( X_C * Î )² + ( R * Î )² = (X_C² + R²) * β    (1)

Entsprechend zu U = R * I gilt für den gesamten Wechselstromwiderstand Z der Reihenschaltung von Kondensator und Widerstand:

(Û_ges)² = ( Z * I)²  = Z²* I²   (2)

Ein Vergleich von (1) und (2) ergibt:

Z² * β = (X_C² + R²) * β

oder nach Kürzen von β auf beiden Seiten:

Z² = X_C² + R²

Das bedeutet: auch die Widerstände muss man vektoriell (mit dem Satz des Pythagoras) addieren!
Der gesamte Wechselstrormwiderstand Z ist nicht die Summe der einzelnen Wechselstromwiderstände X_C und R.

5) Der Phasenwinkel zwischen Stromstärke und Gesamtspannung.

Hier ist noch einmal das Zeigerdiagramm. Der Phasenwinkel a zwischen Î und Ûges kann berechnet werden. Im grauen, rechtwinkligen Dreieck gilt: tan a = ÛC / ÛR = (XC * Î) / (R * Î) = XC / R Man kann also den Phasenwinkel sowohl über die Teilspannungen, also auch über die einzelnen Wechselstromwiderstände berechnen. Weil die Spannung der Stromstärke hinterher hinkt, ist der Phasenwinkel negativ. Grenzfälle: Ist R sehr groß gegenüber XC, dann ist der Phasenwinkel betragsmäßig klein, ist R sehr klein gegenüber XC, dann ist der Phasenwinkel betragsmäßig groß, ist R = XC, dann ist der Phasenwinkel gerade - 45 Grad.

Das Oszilloskop zeigt, was auch das rotierende Zeigersystem zeigt.

.... ein Blick hinter die Kulissen der Animation .....

Genau diese Zusammenhänge nutzt die Animation, die hier gleich folgt.

Dies ist ein Ausschnitt aus dem Skript (links) und die Kommentierung (rechts)
( Man kann das Skript einsehen, wenn man sich den Quelltext der Seite auflisten läßt )

Für die Berechnung werden die für Frequenz, Kapazität und Widerstand ausgewählten Werte verwendet.

Fragen / Aufgaben:

1) Wähle als Widerstandswert zunächst 0 Ohm. Dann simulieren wir nur den Kondensator im Wechselstromkreis.
(Zuerst "Reset" und dann "Rotieren" klicken.)

• Wie ist die Phasenlage zwischen Stromstärke I(t) und Spannung U_C(t)?
• Welchen Wert hat die Stromstärke, wenn die Spannung 0 ist?
• Welchen Wert hat die Spannung, wenn die Stromstärke 0 ist?

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2) Wähle nun den Widerstand wieder mit der Voreinstellung (2 Ohm).
(Beachte auch die Einblendungen der Phase. Die Phase ist der Winkel (in Grad) zwischen dem grünen Vektor der Stromstärke Î und dem roten Vektor der Gesamtspannung Ûges.

a) Wähle zunächst die Darstellungsart "Zeichnen: Spannung Widerstand (UR)".

• Wie ist die Phasenlage zwischen Stromstärke I(t) und U_R(t)?
• Welchen Wert hat U_R(t), wenn I(t) null / maximal ist?

b) Wähle nun die Darstellungsart "Zeichen: Spannung Kondensator (UC)".

• Wie ist die Phasenlage zwischen Stromstärke I(t) und U_C(t)?
• Welchen Wert hat U_C(t), wenn I(t) null / maximal ist?

c) Wähle die Darstellungsart "Zeichen: Gesamtspannung (Uges)".

• Wie ist die Phasenlage zwischen Stromstärke I(t) und U_C(t) jetzt?
  

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3) Belasse die Kondensatoreinstellungen auf der Voreinstellung (1000 Mikrofarad, 100 Hz) und wähle den Widerstand maximal mit 10 Ohm.

• Wie verändern sich die Teilspannungen und der Phasenwinkel dabei?
• Versuche dies zur erklären.

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4) Wähle nun den Widerstand wieder mit 2 Ohm und verändere die Kapazität und die Frequenz so, dass die Spannung am Kondensator möglichst groß wird.

• Müssen dazu die Frequenz und die Kapazität groß oder klein gewählt werden?
• Wie verändert sich der Wechselstromwiderstand X_C dabei? (Erinnerung: X_C = 1 / (w * C))
  
  
• Was kann man nun über die Phasenlage zwischen Stromstärke und Gesamtspannung aussagen?
  
  
• Wie groß muss X_C sein, damit der Phasenwinkel genau 45 Grad wird?
  (Versuche dies durch Variation von Kapazität und Frequenz möglichst genau zu erreichen).
• Berechne mit den ermittelten Werten X_C. Du müsstest ziemlich genau 2 Ohm erhalten! (Erinnerung: w = 2*p*f)

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