Schwingendes Reagenzglas - Federpendel : ein Vergleich

Schwingendes Reagenzglas - Federpendel : ein Vergleich


Obwohl es sich auf den ersten Blick um zwei völlig verschiedene Probleme handelt, gibt es auf den zweiten Blick doch sehr viele Gemeinsamkeiten zwischen diesen schwingenden Systemen :

Federpendel :

Reagenzglas :


Feder Gleichgewichtslage
Die Feder wird durch die angehängte Masse verlängert. Sie möchte sich wieder zusammenziehen. Es ergibt sich eine Federkraft Ff nach oben.

Reagenzglas Gleichgewichtslage
Das Reagenzglas verdrängt Wasser und erfährt dadurch die Auftriebskraft Fa nach oben, sie ist gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeitsmenge (Prinzip von Archimedes)

Die Feder wird so weit gespannt, bis die Federkraft Ff gleich groß wie die Gewichtskraft Fg der angehängten Masse ist.

Das Reagenzglas taucht so weit ein, bis die Auftriebskraft Fa gleich groß wie die Gewichtskraft Fg des Reagenzglases ist.

Es gilt:

Gleichung Federkraft

Es gilt:

Gleichung Auftriebskraft

Die rückstellende Federkraft ist der Verlängerung der Feder so proportional.

Die rückstellende Auftriebskraft ist der Eintauchtiefe so im Wasser proportional.


zusätzliche Auslenkung nach unten :


Feder weiter gespannt

Reagenzglas weiter eingetaucht

Wird die Feder weiter gespannt, so wird die Federkraft Ff größer als die Gewichtskraft Fg der angehängten Masse.

Wird das Reagenzglas weiter eingetaucht - und verdrängt daher mehr Wasser - so wird die Auftriebskraft Fa größer als die Gewichtskraft Fg des Reagenzglases.

Es ergibt sich daher eine resultierende Kraft - entgegen der zusätzlichen Auslenkung - nach oben.

Diese ist der zusätzlichen Auslenkung proportional.

Wird die Masse losgelassen, so wird sie nach oben beschleunigt.

Es ergibt sich daher eine resultierende Kraft - entgegen der zusätzlichen Auslenkung - nach oben.

Diese ist der zusätzlichen Auslenkung proportional.

Wird das Reagenzglas losgelassen, so wird es nach oben beschleunigt.

Es gilt:

Es gilt:

DGL Feder-Masse

DGL Reagenzglas

Das Vorzeichen im rechten Teil der Gleichung berücksichtigt, dass die zusätzliche Verlängerung nach unten (negativ) erfolgt, die Beschleunigung aber nach oben (positiv) wirkt.

Das Vorzeichen im rechten Teil der Gleichung berücksichtigt, dass die zusätzliche Verlängerung nach unten (negativ) erfolgt, die Beschleunigung aber nach oben (positiv) wirkt.


zeitabhängige Gleichung :


Während der sich ergebenden Schwingung ändert sich die Auslenkung s, die resultierende Kraft Fres und damit die Beschleunigung a ständig, a(t) ist dabei die zweite Ableitung der s(t) Funktion.

Während der sich ergebenden Schwingung ändert sich die Auslenkung s, die resultierende Kraft Fres und damit die Beschleunigung a ständig, a(t) ist dabei die zweite Ableitung der s(t) Funktion.

DGL Feder
Dabei ist D die Federhärte der Feder.

DGL Reagenzglas
Man sieht, dass der umrahmte Ausdruck der Federhärte auf der linken Seiten entspricht, man nennt den Ausdruck hier Richtgröße D.


Lösung der Differenzialgleichung 2. Ordnung :


Der Lösungsansatz ist hier (Anfangsbedingungen!)

Der Lösungsansatz ist hier (Anfangsbedingungen!)

Ansatz Feder

Ansatz Reagenzglas

also :

Ableitungen

also :

Ableitungen

In die Differenzialgleichung eingesetzt, ergibt sich nach Kürzen:

Lösung Feder

In die Differenzialgleichung eingesetzt, ergibt sich nach Kürzen:

Lösung Reagenzglas

bzw. für die Periodendauer :

Periodendauer Feder

bzw. für die Periodendauer :

Periodendauer Reagenzglas