Definitionserweiterung
Alles schon einmal da gewesen!
Bei den natürlichen Zahlen stößt man in den unteren Klassen auf die Problematik, dass beim "rückwärts Zählen" bei der Null oft weiter gezählt wird (z. B. Minustemperaturen, Schulden, Stockwerke im Keller). Wir haben an dieser Stelle "neue" Zahlen - die negativen Zahlen - eingeführt und unsere alten Rechenregeln (Addition, Multiplikation, Kommutativgesetz...) für diese neuen Zahlen definiert. In gleicher Weise haben wir die Definitionen dieser Rechenregeln bei der Einführung der Brüchen und der reellen Zahlen auch auf diese "neuen" Zahlen angepasst.
Grenzen der alten Definition
Nun stoßen wir bei Sinus, Kosinus und Tangens auf den Fall, dass z. B. der Taschenrechner bei Winkeleingaben über 90° keine Fehlermeldung ausgibt. Dies wäre zu erwarten, denn beim rechtwinkligen Dreieck sind die Innenwinkel kleiner gleich 90°(!). Darüber hinaus kann ein Seitenverhältnis niemals negativ sein, (Seitenlängen sind stets positiv) - doch genau das zeigt der Taschenrechner bei cos 120° an.
Forderungen an die Definitionserweiterung
Tatsächlich lassen sich die Winkelfunktionen auf größere Winkel "erweitern". Allerdings muss man dabei zu einer neuen Definition greifen. Diese Definition muss unsere alte Definition als "Spezialfall" beinhalten. (Vergleiche hierzu die Vorgehensweise bei der Definition der Addition für Brüche.) Hierbei kommt der Einheitskreis (Kreis mit dem Radius 1) ins Spiel.
Animierte Definition des Sinus und Kosinus für beliebige Winkel mit dem Einheitskreis
Unter dem nachfolgenden Link gelangen Sie zu einer animierten Definition, bei der Sinus und Kosinus gemäß der erweiterten Definition über den Einheitskreis dargestellt werden.
Definitionserweiterung für Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Lernvideo: Definitionserweiterung von Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Zum Youtube-Lernvideo: "Definitionserweiterung von Sinus und Kosinus für beliebige Winkel"
Lernvideo: Sinus- und Kosinuskurve von Hand zeichnen
Zum Lernvideo: "Sinus- und Kosinuskurve von Hand zeichnen"
Ein möglicher Unterrichtsgang (Teil 2)
Das folgende Arbeitsblatt beschreibt (aufbauend auf Einführung Trigonometrie - Teil 1) einen möglichen Unterrichtsgang. Es eignet sich sowohl zum Selbststudium, als auch zur Partner- oder Gruppenarbeit. Die Lösungen der Arbeitsaufträge können hierbei in einer anschließenden Präsentation verglichen werden.
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Die weiteren Teile des Unterrichtsgangs finden sie hier:
Einführung Trigonometrie - Teil 3 und Einführung Trigonometrie - Teil 4.