Umrechnung zwischen Ebenendarstellungen
Ebenen lassen sich in Parameterform, Koordinatenform, oder der Hesse-Form darstellen. Auch die Achsenabschnittsform als besondere Art der Koordinatenform bietet in vielen Fällen Vorteile.
Bei verschiedenen Problemstellungen ist es erforderlich, dass eine Darstellungsart der Ebene in eine andere Form umgerechnet werden muss. Mit Hilfe der nachfolgenden Musteraufgaben wird die jeweilige Vorgehensweise beschrieben.
Ausführliche Musteraufgaben zu den Umrechnungen zwischen den verschiedenen Gleichungsarten
MA 1: Von der Koordinatenform zu Parameterform
Durch Einsetzen von zwei Zahlenwerten lässt sich die dritte Koordinate zu jedem Ebenenpunkt sofort berechnen. Leider findet man auf diese Art nicht alle Punkte der Ebene. Dies gelingt jedoch, wenn man statt konkreten Zahlenwerten Variablen einsetzt. Das Ergebnis muss anschließend nur noch sortiert und in der Parameterform angegeben werden.
MA 2: Von einer gezeichneten Ebene mit allen Spurpunkten zur Gleichung in Koordinatenform
Sobald die Achsenabschnittsform (siehe MA 3) bekannt ist, erübrigt sich die in diesem Dokument dargestellte Vorgehensweise. Mit Hilfe dieses Blattes sollte ein Schüler jedoch erkennen, warum die Achsenabschnittsform die Kehrwerte der Achsenabschnitte als Koeffizienten beinhaltet.
MA 3: Von der Parameterform zur Koordinatenform (Möglichkeit 1)
Ein Vergleich der beiden Gleichungsformen legt hier die Vorgehensweise nahe: an Stelle der Parameter der ersten Form treten die Variablen der Koordinatenform. Interessanterweise werden zunächst nur zwei der drei Gleichungen "verwertet". Die dritte Gleichung muss anschließend noch "angepasst" werden.
Zusätzlich wird in diesem Dokument auch die Achsenabschnittsform vorgestellt. Ihr Nutzten für die Schüler ist gewaltig, denn bei vielen Aufgaben lassen sich die Achsenabschnitte aus Skizzen ablesen, wodurch die aufwendige Suche nach einer Ebenengleichung entfällt.
MA 4: Von der Parameterform zur Koordinatenform (Möglichkeit 2)
Hier wird die Orthogonalität zwischen Spannvektoren und Normalenvektoren ausgenutzt. Solch ein Normalenvektor lässt sich über das Skalarprodukt leicht bestimmen - vor allem wenn man beachtet, dass es nicht auf seine Länge ankommt.
Ist der Normalenvektor schließlich gefunden, gibt es die Koordinatengleichung "gratis dazu".
