Zinseszinsrechnung - Zinsformel
Bei der Verzinsung eines Kapitals über mehrere Jahre werden die anfallenden Zinsen mit verzinst. Der Wachstumsfaktor q vereinfacht die Berechnung des Endkapitals Kn nach n Jahren.
Dabei unterscheiden wir zwei Fälle:
- der Zinssatz bleibt während der gesamten Laufzeit konstant
- der Zinssatz ändert sich während der Laufzeit
1. Der Zinssatz z bleibt über die gesamte Laufzeit gleich.
Zahlenbeispiel:
Peter hat im Jahr 2000 einen Sparbetrag von 800 € angelegt. Die Bank zahlte ihm dafür jährlich 5 % Zinsen. Die Zinsen wurden mitverzinst. Wie viel Euro kann er nach 3 Jahren abheben?
Vorüberlegung: Eine Zunahme um 5% führt zu einem Wachstumsfaktor von q = 1,05. Die Tabelle zeigt die Kapitalentwicklung für 3 Jahre.
| Jahr | Kapital in € zu Beginn des Jahres |
· q | Kapital in € am Ende des Jahres |
| 2000 | K0 =800 | · 1,05 | K1 = 800 · 1,05 = 840 |
| 2001 | K1 =840 | · 1,05 | K2 = 840 · 1,05 = 882 |
| 2002 | K2 =882 | · 1,05 | K3 = 882 · 1,05 = 926,10 |
Allgemein:
Das Kapital zu Beginn eines Jahres wird jedesmal mit dem gleichen Faktor multipliziert. Die mehrfache Multiplikation mit dem gleichen Faktor schreibt man einfacher als Potenz.
| Anfangskapital: | K0 | |
| Kapital nach einem Jahr: | K1 = K0 · q | K1 = K0 · q |
| Kapital nach zwei Jahren: | K2 = K1 · q | K2 = K0 · q · q = K0 · q2 |
| Kapital nach drei Jahren: | K3 = K2· q | K3 = K0 · q · q· q = K0 · q3 |
| Kapital nach n Jahren: | Kn = Kn-1· q | Kn = K0 · q · q·..........· q = K0 · qn |
Das Kapital nach n Jahren kann mit der Zinsformel berechnet werden:
Zinsformel: Kn = K0 · qn
2. Der Zinssatz ändert sich während der Laufzeit
Zahlenbeispiel:
Peter legt im Jahr 2000 einen Sparbetrag von 800 € an. Die Bank zahlte ihm
1,5 % im 1. Jahr - 2,5% im 2. Jahr - 3,5% im 3. Jahr
Die Tabelle zeigt die Kapitalentwicklung für 3 Jahre.
| Jahr | Kapital in € zu Beginn des Jahres |
· q | Kapital in € am Ende des Jahres |
| 2000 | 800,00 | · 1,015 | 812,00 |
| 2001 | 812,00 | · 1,025 | 832,30 |
| 2002 | 832,30 | · 1,035 | 861,43 |
Allgemein:
Kn = K0 · q1· q2· ··· qn